मीट्रिक टेंसर और अवकल ज्यामिति
मीट्रिक टेंसर दिक्काल में दूरियों और समय को निर्दिष्ट करता है, और मैनिफोल्ड्स की अवकल ज्यामिति घुमावदार पृष्ठभूमि पर भौतिकी करने के लिए आवश्यक उपकरण, सहसंयोजक व्युत्पन्न, कनेक्शन और वक्रता टेंसर प्रदान करती है।
Definition
मीट्रिक टेंसर एक सममित, गैर-अपभ्रष्ट रैंक-दो टेंसर क्षेत्र है जो दिक्काल अंतराल और सदिशों के आंतरिक गुणनफल को परिभाषित करता है, जिससे सामान्य सापेक्षता के अद्वितीय मरोड़-मुक्त मीट्रिक-संगत कनेक्शन और सभी वक्रता मात्राएँ प्राप्त होती हैं।
Scope
यह विषय मैनिफोल्ड्स और निर्देशांक चार्ट, स्पर्शरेखा सदिश और एक-रूप, मीट्रिक टेंसर और रेखा तत्व, सूचकांकों को ऊपर उठाना और नीचे करना, लेवी-सिविटा कनेक्शन और क्रिस्टोफेल प्रतीक, सहसंयोजक विभेदन, और वक्रता टेंसर (रीमैन, रिक्की, अदिश) को शामिल करता है जो मीट्रिक से निर्मित होते हैं।
Core questions
- मीट्रिक टेंसर दिक्काल के बारे में सभी ज्यामितीय जानकारी को कैसे एन्कोड करता है?
- सामान्य आंशिक व्युत्पन्न के स्थान पर सहसंयोजक व्युत्पन्न की आवश्यकता क्यों है?
- मीट्रिक से वक्रता टेंसरों का निर्माण कैसे किया जाता है?
Key concepts
- मैनिफोल्ड और निर्देशांक चार्ट
- स्पर्शरेखा सदिश और एक-रूप
- मीट्रिक टेंसर और रेखा तत्व
- क्रिस्टोफेल प्रतीक
- सहसंयोजक व्युत्पन्न
- रिक्की और अदिश वक्रता
Key theories
- मीट्रिक और रेखा तत्व
- मीट्रिक टेंसर आस-पास की घटनाओं के बीच वर्ग अंतराल और सदिशों के आंतरिक गुणनफल को परिभाषित करता है, ताकि लंबाई, कोण, समय और कारण संबंध सभी मैनिफोल्ड पर एक ही सममित टेंसर क्षेत्र से प्राप्त हों।
- लेवी-सिविटा कनेक्शन और वक्रता
- मीट्रिक संगतता और लुप्त होने वाला मरोड़ एक अद्वितीय कनेक्शन को अलग करता है जिसके क्रिस्टोफेल प्रतीक सहसंयोजक विभेदन और समानांतर परिवहन को परिभाषित करते हैं, जिससे रीमैन, रिक्की और अदिश वक्रता का निर्माण होता है।
Clinical relevance
मीट्रिक और टेंसर कैलकुलस सामान्य सापेक्षता में हर मात्रात्मक भविष्यवाणी के लिए कार्य उपकरण हैं, जैसे श्वार्ज़स्चिल्ड और फ्रीडमैन मीट्रिक जैसे समाधानों को लिखना से लेकर विलय करने वाले ब्लैक होल और न्यूट्रॉन सितारों को मॉडल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले संख्यात्मक सापेक्षता सिमुलेशन करने तक।
History
रीमैन ने 1854 में गॉस की आंतरिक ज्यामिति को उच्च-आयामी मैनिफोल्ड्स तक सामान्यीकृत किया; क्रिस्टोफेल, रिक्की और लेवी-सिविटा ने अगले दशकों में टेंसरों के निरपेक्ष अवकल कैलकुलस का निर्माण किया, जिससे आइंस्टीन और ग्रॉसमैन को सामान्य सापेक्षता तैयार करने के लिए आवश्यक उपकरण ठीक-ठीक मिल गए।
Key figures
- Bernhard Riemann
- Gregorio Ricci-Curbastro
- Tullio Levi-Civita
- Elwin Bruno Christoffel
Related topics
Seminal works
- wald1984
- carroll2004
Frequently asked questions
- सामान्य सापेक्षता को सहसंयोजक व्युत्पन्न की आवश्यकता क्यों है?
- टेंसर घटकों के सामान्य आंशिक व्युत्पन्न मनमाने निर्देशांक परिवर्तनों के तहत टेंसर के रूप में रूपांतरित नहीं होते हैं; सहसंयोजक व्युत्पन्न कनेक्शन पद जोड़ता है ताकि विभेदन वास्तविक टेंसर उत्पन्न करे और भौतिकी के नियम सभी निर्देशांक प्रणालियों में समान रूप बनाए रखें।
- क्या मीट्रिक कुछ भौतिक है या सिर्फ एक निर्देशांक सुविधा?
- मीट्रिक एक भौतिक क्षेत्र है: यह सामान्य सापेक्षता का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र है, जो मापने योग्य अंतरालों और पदार्थ की गति को निर्धारित करता है, और इसकी गतिशीलता आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों द्वारा तय की जाती है न कि स्वतंत्र रूप से चुनी जाती है।