द्विघात विभेदक विश्लेषण

द्विघात विभेदक विश्लेषण बहुभिन्नरूपी गाऊसी समूहों के तहत अवलोकनों को वर्गीकृत करता है, जिनमें अलग-अलग सहप्रसरण मैट्रिक्स हो सकते हैं, जिससे घुमावदार निर्णय सीमाएँ उत्पन्न होती हैं।

Definition

द्विघात विभेदक विश्लेषण एक वर्गीकरण विधि है जो प्रत्येक समूह को अपने स्वयं के सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य के रूप में मॉडल करती है और इन घनत्वों से प्राप्त द्विघात विभेदक स्कोर की तुलना करके अवलोकनों को असाइन करती है।

Scope

यह विषय समूह-विशिष्ट सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ गाऊसी वर्गीकरण मॉडल, परिणामी द्विघात विभेदक कार्यों, रैखिक विभेदक विश्लेषण के सापेक्ष मापदंडों में व्यापार-बंद (trade-off), छोटे नमूनों के प्रति संवेदनशीलता, और रैखिक और द्विघात नियमों के बीच अंतर्वेशन करने वाले नियमितीकृत दृष्टिकोणों को शामिल करता है।

Core questions

• समान-सहप्रसरण धारणा को शिथिल करने से निर्णय सीमा कैसे बदल जाती है?
• अलग-अलग सहप्रसरणों का अतिरिक्त लचीलापन वर्गीकरण में कब सुधार करता है?
• छोटे नमूनों में द्विघात विभेदक विश्लेषण ओवरफिटिंग के प्रति अधिक प्रवृत्त क्यों होता है?
• नियमितीकरण सहप्रसरण अनुमानों को कैसे स्थिर कर सकता है?

Key theories

असमान-सहप्रसरण गाऊसी मॉडल

जब प्रत्येक समूह अपने स्वयं के सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य होता है, तो घनत्वों का लॉग-अनुपात विशेषताओं में द्विघात होता है, इसलिए समूहों के बीच बेयस-इष्टतम सीमा एक द्विघात सतह होती है।

रैखिक विभेदक विश्लेषण के साथ पूर्वाग्रह-प्रसरण व्यापार-बंद

द्विघात विभेदक विश्लेषण प्रति समूह एक अलग सहप्रसरण का अनुमान लगाता है, जब सहप्रसरण वास्तव में भिन्न होते हैं तो पूर्वाग्रह को कम करता है लेकिन प्रसरण को बढ़ाता है, इसलिए जब नमूने छोटे होते हैं तो इसे रैखिक नियम द्वारा बेहतर प्रदर्शन किया जा सकता है।

Clinical relevance

द्विघात विभेदक विश्लेषण तब लागू किया जाता है जब समूहों में उनके फैलाव के साथ-साथ उनके साधनों में भी प्रशंसनीय रूप से अंतर होता है, जो विज्ञान और इंजीनियरिंग में वर्गीकरण समस्याओं में रैखिक नियम की तुलना में अधिक लचीली सीमाएँ प्रदान करता है।

History

द्विघात विभेदन फिशर के और गाऊसी रैखिक विभेदक के स्वाभाविक विस्तार के रूप में उभरा, जब एक सामान्य सहप्रसरण मैट्रिक्स की धारणा को छोड़ दिया गया, और बाद में उच्च-आयामी और छोटे-नमूना डेटा को संभालने के लिए नियमितीकृत विभेदक विश्लेषण द्वारा पूरक किया गया।

Debates

रैखिक बनाम द्विघात सीमाएँ

समूह-विशिष्ट सहप्रसरणों की अनुमति देने से वास्तव में घुमावदार सीमाओं को पकड़ा जा सकता है लेकिन अनुमानित मापदंडों की संख्या बढ़ जाती है, इसलिए रैखिक और द्विघात विभेदक विश्लेषण के बीच का चुनाव एक पूर्वाग्रह-प्रसरण निर्णय है जो नमूना आकार के प्रति संवेदनशील है।

Key figures

• T. W. Anderson

Seminal works

• anderson2003
• hastie2009
• johnson2007

Frequently asked questions

मुझे LDA के बजाय QDA का उपयोग कब करना चाहिए?

द्विघात विभेदक विश्लेषण का उपयोग तब करें जब समूहों में पर्याप्त रूप से भिन्न सहप्रसरण संरचनाएँ दिखाई दें और नमूना प्रति समूह एक अलग सहप्रसरण मैट्रिक्स का मज़बूती से अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त बड़ा हो।

नियमितीकृत विभेदक विश्लेषण क्या है?

यह एक समझौता है जो प्रत्येक समूह सहप्रसरण को एक पूलित अनुमान की ओर सिकोड़ता है, एक पैरामीटर को ट्यून करता है जो द्विघात और रैखिक विभेदक विश्लेषण के बीच सुचारू रूप से अंतर्वेशन करता है।