एक अच्छा प्रीकंडीशनर क्या बनाता है?

एक अच्छा प्रीकंडीशनर मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का बारीकी से अनुमान लगाता है ताकि प्रीकंडीशंड प्रणाली पुनरावृत्तीय विधि के लिए आसान हो, फिर भी इसे बनाना और लागू करना सस्ता हो। कला इन प्रतिस्पर्धी लक्ष्यों को संतुलित करना है: एक अधिक सटीक प्रीकंडीशनर प्रति चरण अधिक महंगा होता है लेकिन उसे कम चरणों की आवश्यकता होती है।

क्या एक सॉल्वर का उपयोग प्रीकंडीशनर के रूप में किया जा सकता है?

हाँ। मल्टीग्रिड का एक एकल चक्र या एक डोमेन-डीकंपोजिशन हल का उपयोग अक्सर क्रायलोव विधि के भीतर एक प्रीकंडीशनर के रूप में किया जाता है, जो क्रायलोव पुनरावृत्ति की मजबूती को आंतरिक सॉल्वर के तीव्र त्रुटि न्यूनीकरण के साथ जोड़ता है।

प्रीकंडीशनिंग (Preconditioning)

प्रीकंडीशनिंग एक रेखीय प्रणाली को अधिक अनुकूल स्पेक्ट्रम वाली एक समतुल्य प्रणाली में बदल देता है, ताकि एक पुनरावृत्तीय सॉल्वर बहुत कम चरणों में अभिसरित हो सके; यह अक्सर बड़े विरल सॉल्वरों के प्रदर्शन में सबसे महत्वपूर्ण कारक होता है।

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Definition

एक प्रीकंडीशनर एक मैट्रिक्स है, जिसे एक रेखीय प्रणाली पर अंतर्निहित या स्पष्ट रूप से लागू किया जाता है, जो गुणांक मैट्रिक्स या उसके व्युत्क्रम का अनुमान लगाता है ताकि प्रीकंडीशंड प्रणाली में वर्णक्रमीय गुण हों जो एक पुनरावृत्तीय विधि के बहुत तेज़ अभिसरण की ओर ले जाते हैं।

Scope

यह विषय एक अनुमानित व्युत्क्रम के विचार को शामिल करता है जो आइगेनवैल्यूज़ (eigenvalues) को क्लस्टर करता है या कंडीशन नंबर (condition number) को कम करता है, प्रीकंडीशनर (preconditioners) के मुख्य परिवार — विकर्ण (diagonal) और ब्लॉक विकर्ण (block diagonal), अपूर्ण LU (incomplete LU) और चोल्स्की गुणनखंडन (Cholesky factorizations), विरल अनुमानित व्युत्क्रम (sparse approximate inverses), और डोमेन-डीकंपोजिशन (domain-decomposition) और मल्टीग्रिड प्रीकंडीशनर (multigrid preconditioners) — और एक प्रीकंडीशनर की प्रभावशीलता तथा उसके निर्माण और अनुप्रयोग की लागत के बीच के व्यापार-संतुलन को भी शामिल करता है।

Core questions

एक प्रीकंडीशनर पुनरावृत्तीय अभिसरण को तेज़ करने के लिए एक प्रणाली के स्पेक्ट्रम को कैसे बदलता है?
एक अच्छा प्रीकंडीशनर क्या बनाता है, जो सन्निकटन गुणवत्ता को निर्माण और अनुप्रयोग लागत के साथ संतुलित करता है?
अपूर्ण गुणनखंडन (incomplete factorizations) और विरल अनुमानित व्युत्क्रम (sparse approximate inverses) का निर्माण कैसे किया जाता है?
मल्टीग्रिड (multigrid) या डोमेन-डीकंपोजिशन (domain-decomposition) विधियों का उपयोग स्टैंडअलोन सॉल्वर के बजाय प्रीकंडीशनर के रूप में कब किया जाता है?

Key theories

वर्णक्रमीय परिवर्तन (Spectral transformation): मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का अनुमान लगाने वाले एक प्रीकंडीशनर को लागू करने से एक प्रीकंडीशंड ऑपरेटर प्राप्त होता है जिसके आइगेनवैल्यूज़ क्लस्टर होते हैं या जिसका कंडीशन नंबर कम हो जाता है; चूंकि क्रायलोव अभिसरण स्पेक्ट्रम पर निर्भर करता है, यह पुनरावृत्ति गणना को परिमाण के क्रम से कम कर सकता है।
अपूर्ण गुणनखंडन प्रीकंडीशनर (Incomplete factorization preconditioners): अपूर्ण LU और अपूर्ण चोल्स्की गुणनखंडन (incomplete LU and incomplete Cholesky factorizations) एक चुने हुए विरलता पैटर्न या सीमा से परे फिल-इन (fill-in) को त्यागते हुए अनुमानित त्रिकोणीय कारकों की गणना करते हैं, जिससे एक सस्ता प्रीकंडीशनर बनता है जो मैट्रिक्स की अधिकांश क्रिया को कैप्चर करता है।

Mechanisms

एक प्रीकंडीशनर M को इस प्रकार चुना जाता है कि M के साथ प्रणालियों को हल करना सस्ता हो और प्रीकंडीशंड ऑपरेटर पहचान के करीब हो, जिससे उसके आइगेनवैल्यूज़ क्लस्टर हो जाएं। विकर्ण (जैकोबी) प्रीकंडीशनिंग (Diagonal (Jacobi) preconditioning) केवल पुनर्वर्धन (rescales) करता है; अपूर्ण LU या चोल्स्की गुणनखंडन (incomplete LU or Cholesky factorizations) विलोपन के दौरान छोटे या पैटर्न से बाहर की प्रविष्टियों को छोड़कर अनुमानित विरल त्रिकोणीय कारकों का निर्माण करते हैं; विरल अनुमानित व्युत्क्रम (sparse approximate inverses) सीधे एक विरल M का निर्माण करते हैं जो व्युत्क्रम का अनुमान लगाता है ताकि केवल मैट्रिक्स-वेक्टर उत्पादों की आवश्यकता हो। अधिक शक्तिशाली प्रीकंडीशनर प्रति पुनरावृत्ति एक मल्टीग्रिड चक्र या एक डोमेन-डीकंपोजिशन हल लागू करते हैं। प्रत्येक मामले में प्रीकंडीशनर को क्रायलोव विधि (Krylov method) के प्रत्येक चरण के भीतर लागू किया जाता है, और इसका डिज़ाइन इस बात को संतुलित करता है कि यह व्युत्क्रम का कितनी अच्छी तरह अनुमान लगाता है और इसे बनाने और लागू करने में कितनी लागत आती है।

Clinical relevance

प्रीकंडीशनिंग PDE विच्छेदन (discretizations) और बड़े पैमाने पर अनुकूलन से उत्पन्न होने वाली विशाल अस्वस्थ-कंडीशंड प्रणालियों (ill-conditioned systems) को हल करने के लिए निर्णायक है; सही प्रीकंडीशनर एक ऐसी पुनरावृत्ति को बदल सकता है जो कुछ ही चरणों में अभिसरित होती है, और प्रीकंडीशनर का चयन और ट्यूनिंग कम्प्यूटेशनल विज्ञान और इंजीनियरिंग सॉफ्टवेयर में एक केंद्रीय व्यावहारिक चिंता का विषय है।

History

प्रीकंडीशनिंग 1970 के दशक से क्रायलोव विधियों (Krylov methods) के साथ-साथ विकसित हुई, जिसमें 1977 में मेइजरिंक (Meijerink) और वैन डेर वोर्स्ट (van der Vorst) द्वारा अपूर्ण गुणनखंडन (incomplete factorizations) प्रस्तुत किए गए और तब से बीजगणितीय और बहुस्तरीय प्रीकंडीशनर (algebraic and multilevel preconditioners) की एक विस्तृत श्रृंखला विकसित हुई; अब इसे अक्सर क्रायलोव विधि के चयन से भी अधिक सॉल्वर प्रदर्शन के लिए महत्वपूर्ण माना जाता है।

Key figures

Yousef Saad
Michele Benzi
Henk van der Vorst
Olof Widlund

Seminal works

saad2003
benzi2002

Frequently asked questions

एक अच्छा प्रीकंडीशनर क्या बनाता है?: एक अच्छा प्रीकंडीशनर मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का बारीकी से अनुमान लगाता है ताकि प्रीकंडीशंड प्रणाली पुनरावृत्तीय विधि के लिए आसान हो, फिर भी इसे बनाना और लागू करना सस्ता हो। कला इन प्रतिस्पर्धी लक्ष्यों को संतुलित करना है: एक अधिक सटीक प्रीकंडीशनर प्रति चरण अधिक महंगा होता है लेकिन उसे कम चरणों की आवश्यकता होती है।
क्या एक सॉल्वर का उपयोग प्रीकंडीशनर के रूप में किया जा सकता है?: हाँ। मल्टीग्रिड का एक एकल चक्र या एक डोमेन-डीकंपोजिशन हल का उपयोग अक्सर क्रायलोव विधि के भीतर एक प्रीकंडीशनर के रूप में किया जाता है, जो क्रायलोव पुनरावृत्ति की मजबूती को आंतरिक सॉल्वर के तीव्र त्रुटि न्यूनीकरण के साथ जोड़ता है।