टोपोलॉजिकल स्पेस और निरंतरता
एक टोपोलॉजिकल स्पेस खुले सेटों के एक परिवार के माध्यम से यह एन्कोड करता है कि कौन से बिंदु एक-दूसरे के करीब हैं, और एक सतत मानचित्र वह है जो इस निकटता का सम्मान करता है - खुले सेटों को वापस खुले सेटों में खींचता है।
Definition
एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक सेट X है जिसके साथ एक टोपोलॉजी होती है - खुले सबसेट का एक परिवार जो मनमानी यूनियनों और परिमित प्रतिच्छेदन के तहत बंद होता है और इसमें खाली सेट और X शामिल होता है; टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक फ़ंक्शन निरंतर होता है यदि प्रत्येक खुले सेट का प्रीइमेज खुला होता है, और एक होमियोमॉर्फिज्म निरंतर व्युत्क्रम के साथ एक सतत बाइजेक्शन होता है।
Scope
यह विषय खुले-सेट अभिगृहीतों और बंद सेटों, पड़ोस, क्लोजर और इंटीरियर की समतुल्य भाषाओं के माध्यम से टोपोलॉजिकल स्पेस को परिभाषित करता है। यह टोपोलॉजी, सबस्पेस, प्रोडक्ट और कोशेंट टोपोलॉजी, और निरंतरता, होमियोमॉर्फिज्म और टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की केंद्रीय धारणाओं को निर्दिष्ट करने के लिए आधार और सबबेस को किफायती तरीकों के रूप में विकसित करता है। यह अनुक्रमों और नेट के अभिसरण का इलाज करता है जहां मीट्रिक अंतर्ज्ञान विफल रहता है।
Core questions
- एक ही टोपोलॉजी विभिन्न आधारों से कैसे उत्पन्न हो सकती है, और हम टोपोलॉजी की तुलना सूक्ष्मता से कैसे करते हैं?
- जब कोई मीट्रिक उपलब्ध न हो तो निरंतरता का क्या अर्थ है, और इसे क्लोजर और पड़ोस के माध्यम से कैसे चित्रित किया जाता है?
- दो स्पेस कब होमियोमॉर्फिक होते हैं, और कौन से गुण उन्हें अलग करने के लिए इनवेरिएंट के रूप में कार्य करते हैं?
- सबस्पेस, प्रोडक्ट और कोशेंट कंस्ट्रक्शन पैरेंट टोपोलॉजी के गुणों को कैसे विरासत में लेते हैं या विरासत में लेने में विफल रहते हैं?
Key concepts
- खुले सेट, बंद सेट, पड़ोस, क्लोजर और इंटीरियर
- एक टोपोलॉजी उत्पन्न करने वाला आधार और सबबेस
- निरंतरता, होमियोमॉर्फिज्म और टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट
- सबस्पेस, प्रोडक्ट और कोशेंट टोपोलॉजी
- अनुक्रमों और नेट के माध्यम से अभिसरण; पहली गणनीयता की भूमिका
Clinical relevance
ये परिभाषाएँ ज्यामिति और टोपोलॉजी में हर बाद की संरचना के लिए प्रवेश बिंदु हैं: मैनिफोल्ड स्थानीय रूप से यूक्लिडियन टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, होमोटॉपी और होमोलॉजी निरंतर मानचित्रों पर कार्य करते हैं, और स्पेस पर विश्लेषण निरंतरता की इस धारणा पर आधारित है।
History
खुले-सेट परिभाषा ने फ्रेचेट के मीट्रिक स्पेस (1906) और हॉसडॉर्फ के पड़ोस अभिगृहीतों (1914) को सामान्यीकृत किया; मनमानी यूनियनों और परिमित प्रतिच्छेदन के संदर्भ में अब-मानक सूत्रीकरण बोरबाकी और मध्य-शताब्दी के अमेरिकी ग्रंथों के माध्यम से पाठ्यपुस्तक मानदंड बन गया।
Key figures
- Felix Hausdorff
- Maurice Fréchet
- James Munkres
Related topics
Seminal works
- munkres2000
- kelley1955
Frequently asked questions
- क्या प्रत्येक सतत बाइजेक्शन एक होमियोमॉर्फिज्म है?
- नहीं। एक सतत बाइजेक्शन में एक सतत व्युत्क्रम होने में विफल हो सकता है; एक होमियोमॉर्फिज्म के लिए अतिरिक्त रूप से व्युत्क्रम को सतत होने की आवश्यकता होती है, जो इसे टोपोलॉजिकल स्पेस का एक आइसोमॉर्फिज्म बनाता है।
- टोपोलॉजी में नेट अनुक्रमों को क्यों सामान्यीकृत करते हैं?
- उन स्पेस में जो पहले गणनीय नहीं हैं, अनुक्रम सभी क्लोजर और निरंतरता व्यवहार का पता नहीं लगा सकते हैं; नेट (और समतुल्य रूप से फिल्टर) मनमानी निर्देशित सेटों पर अभिसरण को अनुक्रमित करते हैं और पूर्ण सिद्धांत को पुनः प्राप्त करते हैं।