डायोफैंटाइन सन्निकटन

डायोफैंटाइन सन्निकटन यह मापता है कि अपरिमेय संख्याओं को भिन्नों द्वारा कितनी बारीकी से अनुमानित किया जा सकता है; इसका उत्तर संख्या पर सूक्ष्म रूप से निर्भर करता है, जो परिमेय, बीजगणितीय अपरिमेय और अतींद्रिय संख्याओं को अलग करता है।

Definition

डायोफैंटाइन सन्निकटन इस बात का अध्ययन है कि वास्तविक संख्याओं को परिमेय संख्याओं द्वारा कितनी अच्छी तरह अनुमानित किया जा सकता है, जिसे इस बात से मापा जाता है कि एक संख्या और एक भिन्न के बीच का अंतर भिन्न के हर के आकार के सापेक्ष कितना छोटा हो सकता है।

Scope

यह विषय डिरिचलेट के सन्निकटन प्रमेय और पिजनहोल सिद्धांत, सर्वोत्तम सन्निकटन के रूप में सतत भिन्न, एक संख्या के अपरिमेयता माप, लिउविल के प्रमेय और लिउविल (अतींद्रिय) संख्याओं के निर्माण, बीजगणितीय संख्याओं के सन्निकटन पर थ्यू-सीगल-रोथ प्रमेय, और डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान को सीमित करने तथा अतींद्रियता प्रमाणों के अनुप्रयोगों को शामिल करता है।

Core questions

• डिरिचलेट के प्रमेय द्वारा गारंटीकृत, प्रत्येक अपरिमेय संख्या को परिमेय संख्याओं द्वारा कितनी अच्छी तरह अनुमानित किया जा सकता है?
• सतत भिन्न अभिसरण सर्वोत्तम परिमेय सन्निकटन क्यों हैं?
• लिउविल का प्रमेय बीजगणितीय संख्याओं की सन्निकटता को कैसे सीमित करता है और इस प्रकार अतींद्रिय संख्याओं को कैसे प्रदर्शित करता है?
• थ्यू-सीगल-रोथ प्रमेय कौन सी तीव्र सीमा लगाता है, और यह डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान को कैसे सीमित करता है?

Key theories

डिरिचलेट का सन्निकटन प्रमेय

किसी भी अपरिमेय संख्या के लिए अनंत रूप से कई भिन्न होते हैं जो इसे हर के वर्ग के एक से कम तक अनुमानित करते हैं, एक सीमा जो पिजनहोल सिद्धांत द्वारा सिद्ध होती है और अनिवार्य रूप से सतत भिन्नों द्वारा प्राप्त की जाती है।

लिउविल का प्रमेय और अतींद्रियता

बीजगणितीय संख्याओं को उनकी घात पर निर्भर शक्ति से अधिक तेजी से परिमेय संख्याओं द्वारा अनुमानित नहीं किया जा सकता है; लिउविल के स्थिरांक जैसी तेजी से अनुमानित होने वाली संख्याएँ अतींद्रिय होनी चाहिए।

थ्यू-सीगल-रोथ प्रमेय

एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या को अनिवार्य रूप से दो से अधिक घातांक तक अनुमानित नहीं किया जा सकता है; यह सर्वोत्तम संभव सीमा डायोफैंटाइन समीकरणों के व्यापक वर्गों के लिए समाधानों की परिमितता को दर्शाती है।

Clinical relevance

सन्निकटन गुणवत्ता अपरिमेय अनुपातों से जुड़े संख्यात्मक एल्गोरिदम की स्थिरता को नियंत्रित करती है और जालक न्यूनीकरण (जालक क्रिप्टोग्राफी में हमलों और निर्माणों का आधार) और अर्ध-मोंटे कार्लो एकीकरण में उपयोग किए जाने वाले कम-विसंगति अनुक्रमों के डिजाइन को रेखांकित करती है।

History

सतत भिन्न सन्निकटन का अध्ययन यूलर और लैग्रेंज द्वारा किया गया था। लिउविल ने अपने सन्निकटन सीमा का उपयोग करके 1844 में पहली स्पष्ट अतींद्रिय संख्याओं का निर्माण किया; थ्यू, सीगल, और अंततः रोथ ने 1955 में बीजगणितीय संख्याओं के लिए सीमा को तेज किया, जिसके लिए रोथ को फील्ड्स मेडल मिला।

Key figures

• Peter Gustav Lejeune Dirichlet
• Joseph Liouville
• Axel Thue
• Klaus Roth

Frequently asked questions

अपरिमेयता माप क्या है?

यह मापता है कि एक संख्या को परिमेय संख्याओं द्वारा कितनी बारीकी से अनुमानित किया जा सकता है: एक बड़ा माप बेहतर सन्निकटन संभव होने का अर्थ है। परिमेय संख्याओं का माप एक होता है, बीजगणितीय अपरिमेय संख्याओं का ठीक दो (रोथ द्वारा), और लिउविल संख्याओं का अनंत माप होता है।

सन्निकटन कैसे सिद्ध करता है कि एक संख्या अतींद्रिय है?

यदि एक संख्या को परिमेय संख्याओं द्वारा लिउविल की सीमा से अधिक तेजी से अनुमानित किया जा सकता है जो किसी भी बीजगणितीय संख्या के लिए अनुमति देता है, तो वह बीजगणितीय नहीं हो सकती है, इसलिए वह अतींद्रिय होनी चाहिए।