पी-एडिक संख्याएँ

पी-एडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक वैकल्पिक पूर्णता रूप हैं, प्रत्येक अभाज्य संख्या p के लिए एक, जिसमें निकटता को आकार के बजाय विभाज्यता से मापा जाता है; वे संख्या सिद्धांत को स्थानीयकृत करती हैं और ऐसे अंकगणित को प्रकट करती हैं जिसे वास्तविक संख्याएँ छिपाती हैं।

Definition

एक अभाज्य संख्या p के लिए, पी-एडिक संख्याएँ पी-एडिक निरपेक्ष मान के संबंध में परिमेय संख्याओं की पूर्णता हैं, जिसमें एक संख्या छोटी होती है जब वह p की उच्च घात से विभाज्य होती है; वे एक क्षेत्र बनाती हैं जो एक प्रोटोटाइपिकल स्थानीय क्षेत्र है।

Scope

यह क्षेत्र पी-एडिक निरपेक्ष मान और परिमेय संख्याओं की पूर्णता के रूप में पी-एडिक संख्याओं के निर्माण, पी-एडिक क्षेत्रों और अधिक सामान्य स्थानीय क्षेत्रों की संरचना, अभिसरण सहित पी-एडिक विश्लेषण, पी-एडिक घातांक और लघुगणक, हेंसेल का लेम्मा, और स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत को शामिल करता है जिसके द्वारा परिमेय संख्याओं पर एक समीकरण को हल करने का अध्ययन इसके सभी वास्तविक और पी-एडिक पूर्णताओं के माध्यम से किया जाता है।

Sub-topics

• स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत
• पी-एडिक विश्लेषण
• पी-एडिक क्षेत्र और स्थानीय क्षेत्र

Core questions

• पी-एडिक निरपेक्ष मान दूरी को कैसे पुनर्परिभाषित करता है, और परिमेय संख्याओं को पूर्ण करने से पी-एडिक क्षेत्र कैसे उत्पन्न होता है?
• पी-एडिक क्षेत्रों और सामान्य स्थानीय क्षेत्रों की बीजगणितीय और टोपोलॉजिकल संरचना क्या है?
• पी-एडिक रूप से विश्लेषण कैसे काम करता है, और हेंसेल का लेम्मा हमें क्या हल करने देता है?
• स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत परिमेय हल करने की क्षमता को वास्तविक संख्याओं और सभी पी-एडिक क्षेत्रों पर हल करने की क्षमता से कैसे संबंधित करता है?

Key theories

पी-एडिक पूर्णता और ओस्ट्रोव्स्की का प्रमेय

ओस्ट्रोव्स्की का प्रमेय परिमेय संख्याओं पर सभी निरपेक्ष मानों को सामान्य और पी-एडिक मानों के रूप में वर्गीकृत करता है; प्रत्येक के संबंध में पूर्ण करने से वास्तविक संख्याएँ और पी-एडिक क्षेत्र, शून्य विशेषता के स्थानीय क्षेत्र प्राप्त होते हैं।

हेंसेल का लेम्मा

p मॉड्यूलो एक साधारण मूल वाला एक बहुपद एक अद्वितीय पी-एडिक मूल रखता है जो इसे कम करता है, इसलिए समीकरणों को पी-एडिक रूप से हल करना उन्हें p मॉड्यूलो हल करने और उठाने तक कम हो जाता है, एक पी-एडिक न्यूटन की विधि।

स्थानीय-वैश्विक (हासे) सिद्धांत

कई समीकरणों के लिए, विशेष रूप से द्विघात रूपों के लिए, परिमेय संख्याओं पर हल करने की क्षमता वास्तविक संख्याओं और प्रत्येक पी-एडिक क्षेत्र पर हल करने की क्षमता के बराबर है, जो वैश्विक समस्याओं को स्थानीय समस्याओं में केंद्रित करती है।

Clinical relevance

स्थानीय क्षेत्र और पी-एडिक विधियाँ आधुनिक अंकगणितीय ज्यामिति और लैंग्लैंड्स कार्यक्रम में अपरिहार्य हैं; पी-एडिक एल-फंक्शन और गैलोइस निरूपण भी अनुमानों (जैसे बिर्च-स्विन्नर्टन-डायर) को सूचित करते हैं जिनके कम्प्यूटेशनल अध्ययन अण्डाकार-वक्र क्रिप्टोग्राफी का समर्थन करते हैं।

History

हेंसेल ने 1897 के आसपास फलन क्षेत्रों में घात श्रृंखला के सादृश्य द्वारा पी-एडिक संख्याओं का परिचय दिया। हासे ने 1920 के दशक में स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत विकसित किया, और पी-एडिक दृष्टिकोण टेट, इवासावा और अन्य के स्थानीय क्षेत्रों, पी-एडिक एल-फंक्शन और अंकगणितीय ज्यामिति पर काम के माध्यम से केंद्रीय बन गया।

Key figures

• Kurt Hensel
• Helmut Hasse
• Jean-Pierre Serre

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

किस अर्थ में दो संख्याएँ पी-एडिक रूप से निकट हैं?

दो पूर्णांक पी-एडिक रूप से निकट होते हैं जब उनका अंतर अभाज्य संख्या p की उच्च घात से विभाज्य होता है; तो, उदाहरण के लिए, p की बड़ी घातें पी-एडिक रूप से शून्य के निकट होती हैं, जो सामान्य अंतर्ज्ञान के विपरीत है।

पी-एडिक संख्याओं को क्यों पेश किया जाए?

वे अंकगणित को एक ही अभाज्य संख्या पर स्थानीयकृत करती हैं, जिससे कई समस्याएँ सुलभ हो जाती हैं: समीकरणों का अध्ययन एक समय में एक अभाज्य संख्या पर किया जा सकता है, और स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत इन स्थानीय समाधानों को वैश्विक निष्कर्षों में एकत्रित करता है।