दीर्घवृत्तीय वक्र

एक दीर्घवृत्तीय वक्र एक चिकना घन वक्र होता है जिसके बिंदु एक प्राकृतिक समूह नियम का पालन करते हैं; परिमेय संख्याओं पर यह समूह परिमित रूप से उत्पन्न होता है, जिससे दीर्घवृत्तीय वक्र डायोफैंटाइन समीकरणों का एक अद्वितीय रूप से सुगम फिर भी गहन परिवार बन जाता है।

Definition

एक क्षेत्र पर एक दीर्घवृत्तीय वक्र एक चिकना प्रक्षेप्य वक्र होता है जिसकी कोटि एक होती है और जिसमें एक चुना हुआ आधार बिंदु होता है; समतुल्य रूप से, छोटी विशेषताओं से दूर, वीयरस्ट्रैस घन के समाधानों का सेट एक अनंत पर एक बिंदु के साथ मिलकर एक अबेलियन समूह बनाता है।

Scope

यह विषय वीयरस्ट्रैस समीकरणों और विविक्तकर (discriminant) तथा j-अपरिवर्तनीय (j-invariant), जीवा-और-स्पर्शरेखा समूह नियम (chord-and-tangent group law), परिमेय संख्याओं पर दीर्घवृत्तीय वक्र और मोर्डेल-वील प्रमेय (Mordell-Weil theorem), मरोड़ उपसमूह (torsion subgroups) और माज़ूर का वर्गीकरण (Mazur's classification), कोटि (rank) और अवरोहण की विधियाँ (methods of descent), अभाज्य संख्याओं के सापेक्ष न्यूनीकरण (reduction modulo primes) और स्थानीय-वैश्विक चित्र (local-global picture), एक दीर्घवृत्तीय वक्र का L-फलन (L-function), और बर्च तथा स्विन्नर्टन-डायर अनुमान (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) को शामिल करता है जो कोटि को उस L-फलन के लुप्त होने के क्रम से संबंधित करता है।

Core questions

• जीवा-और-स्पर्शरेखा निर्माण दीर्घवृत्तीय वक्र के बिंदुओं को अबेलियन समूह में कैसे बदलता है?
• परिमेय बिंदुओं का समूह परिमित रूप से उत्पन्न क्यों होता है, और इसकी कोटि तथा मरोड़ कैसे निर्धारित की जाती है?
• एक अभाज्य संख्या के सापेक्ष न्यूनीकरण वक्र को परिमित क्षेत्रों पर वक्रों और उसके L-फलन से कैसे संबंधित करता है?
• बर्च और स्विन्नर्टन-डायर अनुमान कोटि के बारे में क्या भविष्यवाणी करता है?

Key theories

समूह नियम और मोर्डेल-वील प्रमेय

एक दीर्घवृत्तीय वक्र पर एक रेखा पर तीन बिंदु पहचान के लिए योग करते हैं, जिससे एक अबेलियन समूह बनता है; परिमेय संख्याओं पर यह समूह परिमित रूप से उत्पन्न होता है, जो एक परिमित मरोड़ भाग और कुछ कोटि के एक मुक्त भाग के बराबर होता है।

मरोड़ और माज़ूर का प्रमेय

एक परिमेय दीर्घवृत्तीय वक्र का मरोड़ उपसमूह पंद्रह स्पष्ट समूहों में से एक है (माज़ूर का प्रमेय), इसलिए मोर्डेल-वील में एकमात्र रहस्य कोटि है।

L-फलन और बर्च-स्विन्नर्टन-डायर

अभाज्य संख्याओं के सापेक्ष बिंदु गणना से निर्मित हैस-वील L-फलन (Hasse-Weil L-function) के बारे में अनुमान लगाया गया है कि यह केंद्रीय बिंदु पर कोटि के बराबर क्रम में लुप्त हो जाता है, जो एक मिलेनियम पुरस्कार समस्या है जिसे निम्न-कोटि के मामलों में आंशिक रूप से सिद्ध किया गया है।

Clinical relevance

परिमित क्षेत्रों पर दीर्घवृत्तीय वक्र दीर्घवृत्तीय-वक्र क्रिप्टोग्राफी (elliptic-curve cryptography) को शक्ति प्रदान करते हैं, जिसमें कुंजी विनिमय (key exchange) और डिजिटल हस्ताक्षर (digital signatures) शामिल हैं, जिनकी दक्षता और सुरक्षा समूह नियम और दीर्घवृत्तीय-वक्र असतत लघुगणक समस्या (elliptic-curve discrete logarithm problem) की कठिनाई पर निर्भर करती है; वे आइसोजेनी-आधारित पोस्ट-क्वांटम प्रस्तावों (isogeny-based post-quantum proposals) का भी आधार हैं।

History

दीर्घवृत्तीय वक्र एबेल और जैकोबी द्वारा अध्ययन किए गए दीर्घवृत्तीय समाकलों (elliptic integrals) से उत्पन्न हुए। पोइंकेयर और मोर्डेल ने बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में परिमेय संख्याओं पर समूह नियम और परिमित उत्पादन स्थापित किया; वील ने इसे अबेलियन विविधताओं (abelian varieties) तक सामान्यीकृत किया, और बर्च तथा स्विन्नर्टन-डायर अनुमान 1960 के दशक में संख्यात्मक प्रयोगों से उभरा।

Key figures

• Louis Mordell
• Andre Weil
• Barry Mazur
• Bryan Birch
• Peter Swinnerton-Dyer

Seminal works

• silverman2009

Frequently asked questions

क्या दीर्घवृत्तीय वक्र दीर्घवृत्त के आकार के होते हैं?

नहीं। यह नाम दीर्घवृत्तों की चाप लंबाई की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले दीर्घवृत्तीय समाकलों से आया है; एक दीर्घवृत्तीय वक्र एक घन वक्र होता है और दीर्घवृत्त जैसा बिल्कुल नहीं दिखता।

एक दीर्घवृत्तीय वक्र की कोटि क्या है?

यह अनंत कोटि के स्वतंत्र परिमेय बिंदुओं की संख्या है; इसकी गणना करना कठिन है, और बर्च तथा स्विन्नर्टन-डायर अनुमान इसे वक्र के L-फलन के केंद्रीय बिंदु पर व्यवहार से संबंधित करता है।