रैखिक और पेल समीकरण

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों को यूक्लिडियन एल्गोरिथम द्वारा पूरी तरह से हल किया जाता है, जबकि पेल समीकरण, जो x वर्ग ऋण d y वर्ग बराबर एक के पूर्णांक समाधानों की मांग करता है, सतत भिन्नों के माध्यम से वास्तविक द्विघात क्षेत्रों की गहरी संरचना को प्रकट करता है।

Definition

एक रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण पूर्णांक गुणांकों वाले एक रैखिक समीकरण के पूर्णांक समाधानों की तलाश करता है; पेल समीकरण द्विघात डायोफैंटाइन समीकरण x वर्ग ऋण d y वर्ग बराबर एक है, जहाँ d एक गैर-वर्ग धनात्मक पूर्णांक है, जिसके समाधान एक अनंत, परिमित रूप से उत्पन्न परिवार बनाते हैं।

Scope

यह विषय दो या अधिक चरों में रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों और उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक और बेज़ाउट की पहचान के माध्यम से पूर्ण समाधान, पेल समीकरण और उसके नकारात्मक और सामान्यीकृत रूपों, द्विघात अपरिमेय संख्याओं के सतत भिन्न विस्तार, मौलिक समाधान और उससे सभी समाधानों को कैसे उत्पन्न किया जाता है, और एक वास्तविक द्विघात क्षेत्र की इकाइयों और मौलिक इकाई से संबंध को शामिल करता है।

Core questions

• एक रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण के पूर्णांक समाधान कब होते हैं, और पूर्ण समाधान सेट का वर्णन कैसे किया जाता है?
• गैर-वर्ग d के लिए पेल समीकरण में हमेशा गैर-तुच्छ समाधान क्यों होते हैं?
• d के वर्गमूल का सतत भिन्न विस्तार मौलिक समाधान कैसे उत्पन्न करता है?
• सभी पेल समाधान मौलिक समाधान से कैसे उत्पन्न होते हैं, और इसका द्विघात क्षेत्र की इकाइयों से क्या संबंध है?

Key theories

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों की हल करने की क्षमता

समीकरण a x धन b y बराबर c के पूर्णांक समाधान ठीक तभी होते हैं जब a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक c को विभाजित करता है, और बेज़ाउट की पहचान तब एक विशेष समाधान और पूर्ण एक-पैरामीटर परिवार देती है।

पेल समाधानों का अस्तित्व और संरचना

गैर-वर्ग d के लिए पेल समीकरण के अनंत समाधान होते हैं; एक मौलिक समाधान मौजूद होता है, और अन्य सभी वास्तविक द्विघात क्षेत्र में संबंधित इकाई की घातें लेकर प्राप्त किए जाते हैं।

सतत भिन्न और द्विघात अपरिमेय संख्याएँ

d के वर्गमूल का सतत भिन्न विस्तार अंततः आवधिक होता है, और इसके अभिसारी मौलिक पेल समाधान प्रदान करते हैं, जो डायोफैंटाइन हल करने की क्षमता को डायोफैंटाइन सन्निकटन से जोड़ते हैं।

Clinical relevance

पेल-प्रकार के समीकरण और सतत भिन्न द्विघात क्षेत्रों के मौलिक इकाइयों और नियामकों की गणना के लिए एल्गोरिदम में और अपरिमेय अनुपातों के सन्निकटन में दिखाई देते हैं, जिनका कैलेंडर डिजाइन, गियर अनुपात और जाली न्यूनीकरण में व्यावहारिक उपयोग है।

History

भारतीय गणितज्ञों, विशेष रूप से सातवीं शताब्दी में ब्रह्मगुप्त और चक्रवाल विधि के साथ भास्कर द्वितीय ने यूरोप से सदियों पहले पेल के समीकरण को हल किया था। फर्माट ने इसे एक चुनौती के रूप में प्रस्तुत किया, और लैग्रेंज ने 1768 में पहला पूर्ण यूरोपीय प्रमाण दिया; पेल नाम यूलर द्वारा एक ऐतिहासिक गलत आरोपण है।

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

इसे पेल समीकरण क्यों कहा जाता है?

एक ऐतिहासिक त्रुटि के कारण: यूलर ने समीकरण का श्रेय जॉन पेल को दिया, हालांकि पेल ने इस पर बहुत कम काम किया; महत्वपूर्ण प्रारंभिक प्रगति भारतीय गणितज्ञों और फर्माट और लैग्रेंज द्वारा की गई थी।

आप पेल समाधान कैसे ढूंढते हैं?

d के वर्गमूल को एक सतत भिन्न के रूप में विस्तारित करें; इसके आवधिक अभिसारी मौलिक समाधान प्रदान करते हैं, जिससे प्रत्येक अन्य समाधान बार-बार संयोजन द्वारा उत्पन्न होता है।