विभाज्यता और अभाज्य संख्याएँ

विभाज्यता, महत्तम समापवर्तक और अभाज्य संख्याएँ संख्या सिद्धांत की आधारशिला हैं: प्रत्येक पूर्णांक अभाज्य संख्याओं से गुणात्मक रूप से निर्मित होता है, और जिस तरह से यह निर्मित होता है वह लगभग हर बाद के परिणाम को नियंत्रित करता है।

Definition

एक पूर्णांक a, b को विभाजित करता है यदि b किसी पूर्णांक के a गुना के बराबर हो; एक अभाज्य संख्या एक से बड़ी एक पूर्णांक है जिसके केवल धनात्मक भाजक एक और स्वयं हैं। विभाज्यता और अभाज्य संख्याएँ पूर्णांकों के गुणात्मक अपघटन और उस अपघटन के अपरिवर्तनीय निर्माण खंडों से संबंधित हैं।

Scope

यह विषय पूर्णांकों पर विभाज्यता संबंध, विभाजन एल्गोरिथम, यूक्लिडियन एल्गोरिथम के माध्यम से परिकलित महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य, बेज़ाउट की सर्वसमिका, यूक्लिड का लेम्मा, अंकगणित का मौलिक प्रमेय, और अभाज्य संख्याओं का प्रारंभिक सिद्धांत — उनकी अनंतता, वितरण अनुमानी, और अभाज्यता — का विवेचन करता है।

Core questions

• यूक्लिडियन एल्गोरिथम महत्तम समापवर्तक की गणना कैसे करता है और बेज़ाउट की सर्वसमिका कैसे प्राप्त करता है?
• यूक्लिड का लेम्मा अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन को अद्वितीय होने के लिए क्यों मजबूर करता है?
• कोई यह कैसे सिद्ध कर सकता है कि असीमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, और ऐसे प्रमाण क्या प्रकट करते हैं?
• अभाज्य संख्याएँ पूर्णांकों के बीच कैसे वितरित होती हैं, और व्यवहार में अभाज्यता का निर्णय कैसे किया जाता है?

Key theories

विभाजन एल्गोरिथम और यूक्लिडियन एल्गोरिथम

किसी भी पूर्णांक को एक धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने पर एक अद्वितीय भागफल और शेषफल प्राप्त होता है; इसे दोहराने से महत्तम समापवर्तक प्राप्त होता है और, पश्च-प्रतिस्थापन के माध्यम से, पूर्णांक इसे एक रैखिक संयोजन (बेज़ाउट की सर्वसमिका) के रूप में व्यक्त करते हैं।

अंकगणित का मौलिक प्रमेय

एक से ऊपर की प्रत्येक पूर्णांक अभाज्य संख्याओं का एक गुणनफल है जो क्रम तक अद्वितीय है; यूक्लिड का लेम्मा (एक गुणनफल को विभाजित करने वाली एक अभाज्य संख्या एक गुणनखंड को विभाजित करती है) मुख्य चरण है।

अभाज्य संख्याओं की अनंतता

यूक्लिड का शास्त्रीय तर्क दर्शाता है कि अभाज्य संख्याओं की कोई भी परिमित सूची पूर्ण नहीं है; ज़ेटा फलन के लिए यूलर का गुणनफल सूत्र एक विश्लेषणात्मक प्रमाण देता है और अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों के योग के विचलन के माध्यम से अभाज्य घनत्व को मापता है।

Clinical relevance

तेज गुणनखंडन और अभाज्यता परीक्षण क्रिप्टोग्राफी के लिए मौलिक हैं: RSA सुरक्षा दो अभाज्य संख्याओं के बड़े गुणनफलों के गुणनखंडन की कठिनाई पर निर्भर करती है, जबकि कुशल अभाज्यता परीक्षण (जैसे मिलर-राबिन) कुंजी निर्माण को व्यावहारिक बनाते हैं।

History

यूक्लिड के एलिमेंट्स (लगभग 300 ईसा पूर्व) में पहले से ही यूक्लिडियन एल्गोरिथम, यूक्लिड का लेम्मा, और अभाज्य संख्याओं के अनंत होने का प्रमाण शामिल था। एराटोस्थनीज की छलनी ने अभाज्य संख्याओं को सूचीबद्ध करने की पहली व्यवस्थित विधि प्रदान की, और अठारहवीं और उन्नीसवीं शताब्दी में यूलर, लेजेंड्रे और गॉस द्वारा किए गए कार्य ने अभाज्य वितरण को एक मात्रात्मक समस्या के रूप में पुनः प्रस्तुत किया।

Key figures

• Euclid
• Eratosthenes
• Leonhard Euler
• Etienne Bezout

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

क्या एक अभाज्य संख्या है?

नहीं। एक को परिभाषा से बाहर रखा गया है ताकि अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय हो; यदि एक को अभाज्य माना जाता, तो प्रत्येक संख्या के अनंत गुणनखंड होते।

बेज़ाउट की सर्वसमिका का उपयोग किस लिए किया जाता है?

यह बताता है कि दो पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक उनका एक पूर्णांक रैखिक संयोजन है, जो मॉड्यूलर व्युत्क्रमों की गणना करने और रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने का आधार है।