प्रथम-कोटि तर्क और पूर्णता
प्रथम-कोटि तर्क वस्तुओं और संबंधों के बारे में परिमाणित कथनों की औपचारिक भाषा है, और गोडेल का पूर्णता प्रमेय दर्शाता है कि इसकी प्रमाण प्रणाली सभी व्याख्याओं में सत्य वाक्यों को सटीक रूप से पकड़ती है।
Definition
प्रथम-कोटि तर्क प्रस्तावात्मक तर्क को वस्तुओं के एक डोमेन पर परिमाणकों के साथ-साथ संबंध, फलन और स्थिर प्रतीकों के साथ विस्तारित करता है; पूर्णता प्रमेय कहता है कि एक वाक्य इसकी प्रमाण प्रणाली में ठीक तभी व्युत्पन्न होता है जब वह मान्य अभिगृहीतों का एक तार्किक परिणाम हो।
Scope
यह विषय प्रथम-कोटि भाषाओं के सिंटैक्स, पदों, सूत्रों और वाक्यों, संरचनाओं और संतुष्टि के शब्दार्थ, वैधता और तार्किक परिणाम की धारणाओं, प्रथम-कोटि तर्क के लिए एक निगमनात्मक प्रणाली, और प्रमाणिकता को सत्य से जोड़ने वाले सुदृढ़ता और पूर्णता प्रमेयों को शामिल करता है।
Core questions
- प्रथम-कोटि तर्क का सटीक सिंटैक्स और शब्दार्थ क्या है?
- किसी वाक्य के लिए किसी सिद्धांत का तार्किक परिणाम होने का क्या अर्थ है?
- प्रत्येक वैध वाक्य औपचारिक रूप से क्यों सिद्ध करने योग्य है?
- पूर्णता प्रमाण प्रणाली को सभी मॉडलों के वर्ग से कैसे जोड़ती है?
Key theories
- सुदृढ़ता प्रमेय
- प्रमाण प्रणाली में व्युत्पन्न प्रत्येक वाक्य परिसर के प्रत्येक मॉडल में सत्य होता है, इसलिए निगमनात्मक प्रणाली कभी भी गलत परिणामों को सिद्ध नहीं करती है।
- गोडेल पूर्णता प्रमेय
- इसके विपरीत, प्रत्येक वाक्य जो किसी सिद्धांत के सभी मॉडलों में मान्य होता है, उससे व्युत्पन्न होता है, इसलिए प्रथम-कोटि तर्क के लिए प्रमाणिकता और तार्किक परिणाम मेल खाते हैं।
- हेनकिन निर्माण
- पूर्णता को अस्तित्वगत कथनों के लिए साक्ष्यों के साथ वाक्यों के एक अधिकतम सुसंगत सेट से सीधे एक मॉडल का निर्माण करके सिद्ध किया जाता है, जो मॉडल बनाने के लिए एक वाक्यात्मक विधि प्रदान करता है।
Clinical relevance
प्रथम-कोटि तर्क गणितीय सिद्धांतों को औपचारिक बनाने के लिए मानक ढाँचा है, और पूर्णता यह गारंटी देती है कि सभी मॉडलों के लिए सामान्य कोई भी अर्थगत सत्य सैद्धांतिक रूप से सिद्ध किया जा सकता है, जो स्वचालित प्रमेय सिद्ध करने और स्वयंसिद्ध प्रणालियों की मूलभूत पर्याप्तता को रेखांकित करता है।
History
प्रथम-कोटि तर्क फ्रेगे के बेग्रिफ़्सक्रिफ्ट से उभरा और हिल्बर्ट और एकरमैन द्वारा एक विशिष्ट प्रणाली के रूप में अलग किया गया था। गोडेल ने अपने 1929 के डॉक्टरेट शोध प्रबंध में पूर्णता सिद्ध की, और हेनकिन के 1949 के निर्माण ने अधिकतम सुसंगत सेटों का उपयोग करके सुव्यवस्थित प्रमाण दिया जो आज मानक है।
Key figures
- Gottlob Frege
- Kurt Goedel
- Leon Henkin
- Alfred Tarski
Related topics
Seminal works
- enderton2001
- marker2002
- shoenfield1967
Frequently asked questions
- पूर्णता गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से कैसे भिन्न है?
- पूर्णता तार्किक परिणाम के बारे में है: किसी सिद्धांत के सभी मॉडलों में सत्य प्रत्येक वाक्य प्रमाण योग्य है। अपूर्णता एक विशिष्ट सिद्धांत के बारे में है: एक पर्याप्त मजबूत सुसंगत सिद्धांत में ऐसे वाक्य होते हैं जो उसके इच्छित मॉडल में सत्य होते हैं जिन्हें वह सिद्ध नहीं कर सकता। दोनों अलग-अलग धारणाओं से संबंधित हैं और विरोधाभास में नहीं हैं।
- प्रथम-कोटि तर्क मानक विकल्प क्यों है?
- यह अधिकांश गणित को औपचारिक बनाने के लिए पर्याप्त अभिव्यंजक है फिर भी पूर्णता और सघनता का आनंद लेता है, जो द्वितीय-कोटि तर्क जैसे मजबूत तर्कों के लिए विफल हो जाते हैं। अभिव्यंजकता और अच्छे मेटाथियोरेटिक गुणों का यह संतुलन इसे डिफ़ॉल्ट तार्किक ढाँचा बनाता है।