समुच्चय-सैद्धांतिक विरोधाभास और प्रकार सिद्धांत

उन सभी समुच्चयों का समुच्चय जो स्वयं को समाहित नहीं करते हैं, स्वयं को समाहित करते भी हैं और नहीं भी करते हैं — रसेल के विरोधाभास ने भोली समुच्चय सिद्धांत को ध्वस्त कर दिया और तर्कशास्त्र की नींव को नया आकार दिया।

Definition

समुच्चय-सैद्धांतिक विरोधाभास भोली समुच्चय सिद्धांत में अप्रतिबंधित समझ सिद्धांत से प्राप्त होने वाले विरोधाभास हैं कि प्रत्येक शर्त एक समुच्चय को परिभाषित करती है; प्रकार सिद्धांत संस्थाओं को प्रकारों के पदानुक्रम में व्यवस्थित करके और एक समुच्चय को स्वयं से संबंधित होने से रोककर उन्हें अवरुद्ध करता है।

Scope

यह विषय तार्किक और समुच्चय-सैद्धांतिक विरोधाभासों और उनके द्वारा उत्पन्न मौलिक प्रतिक्रियाओं को शामिल करता है। यह रसेल के सभी गैर-स्व-सदस्यीय समुच्चयों के समुच्चय के विरोधाभास, सबसे बड़े क्रमसूचक के बुराली-फोर्टि विरोधाभास, और सार्वभौमिक समुच्चय के कैंटर के विरोधाभास का वर्णन करता है; रसेल का दुष्चक्र सिद्धांत के माध्यम से निदान और प्रिंसिपिया मैथमेटिका में परिणामी शाखित प्रकार सिद्धांत; और स्वयंसिद्ध (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल) समुच्चय सिद्धांत की वैकल्पिक प्रतिक्रिया जो विरोधाभासों से बचने के लिए समझ को प्रतिबंधित करती है।

Core questions

• भोली समुच्चय सिद्धांत में कौन सी धारणा रसेल के विरोधाभास को उत्पन्न करती है?
• क्या विरोधाभासों से बचने के लिए दुष्चक्र सिद्धांत और प्रकार प्रतिबंधों की आवश्यकता है?
• प्रकार सिद्धांत और स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत प्रतिक्रियाओं के रूप में कैसे भिन्न हैं?
• क्या तार्किक विरोधाभास मौलिक रूप से अर्थ संबंधी विरोधाभासों के समान हैं?

Key concepts

• अप्रतिबंधित समझ
• रसेल का विरोधाभास
• बुराली-फोर्टि और कैंटर के विरोधाभास
• दुष्चक्र सिद्धांत
• प्रकारों का सिद्धांत
• पृथक्करण का स्वयंसिद्ध

Key theories

शाखित प्रकार सिद्धांत

रसेल दुष्चक्र सिद्धांत और प्रकारों के एक पदानुक्रम के साथ विरोधाभासों को अवरुद्ध करते हैं जिसमें एक इकाई को केवल पदानुक्रम में निचले स्तर की संस्थाओं पर परिभाषित किया जा सकता है, जिससे स्व-सदस्यता और स्व-लागू परिभाषाओं को रोका जा सके।

प्रतिबंधित समझ

स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल) पृथक्करण और प्रतिस्थापन के लिए अप्रतिबंधित समझ को छोड़ देता है, ताकि सभी गैर-स्व-सदस्यीय समुच्चयों का कोई समुच्चय नहीं बन सके, जिससे प्रकार पदानुक्रम के बिना रसेल के विरोधाभास को भंग किया जा सके।

History

रसेल ने 1901 में फ्रेगे के तर्कवाद का अध्ययन करते हुए अपना विरोधाभास खोजा, जिसने फ्रेगे के मूल नियम V को कमजोर कर दिया। रसेल के 1908 के प्रकार सिद्धांत और 1910 के प्रिंसिपिया मैथमेटिका ने एक समाधान प्रस्तुत किया; ज़र्मेलो के 1908 के स्वयंसिद्धीकरण, जिसे बाद में फ्रेंकेल द्वारा विस्तारित किया गया, ने एक और समाधान प्रस्तुत किया, और ये दोनों दृष्टिकोण आधुनिक नींव और तर्कशास्त्र और कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले सरल प्रकार सिद्धांत को आधार प्रदान करते हैं।

Debates

प्रकार बनाम स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत

क्या विरोधाभासों से दुष्चक्र सिद्धांत पर आधारित एक प्रकार पदानुक्रम द्वारा सबसे अच्छी तरह से बचा जा सकता है या समुच्चय-अस्तित्व स्वयंसिद्धों को प्रतिबंधित करके, और प्रत्येक दृष्टिकोण का समुच्चयों, वर्गों और विधेय बनाम अप्रतिदेय परिभाषाओं की प्रकृति के बारे में क्या निहितार्थ है।

Key figures

• Bertrand Russell
• Alfred North Whitehead
• Gottlob Frege
• Ernst Zermelo
• Cesare Burali-Forti

Seminal works

• russell1908
• whiteheadrussell1910

Frequently asked questions

सरल शब्दों में रसेल का विरोधाभास क्या है?

उन सभी समुच्चयों के समुच्चय R पर विचार करें जो स्वयं के सदस्य नहीं हैं। पूछें कि क्या R स्वयं का सदस्य है। यदि यह है, तो अपनी ही परिभाषा के अनुसार इसे नहीं होना चाहिए; यदि यह नहीं है, तो यह योग्य है और इसे होना चाहिए। दोनों में से कोई भी उत्तर दूसरे का खंडन करता है, जो दर्शाता है कि भोली समुच्चय सिद्धांत की यह धारणा कि कोई भी गुण एक समुच्चय को परिभाषित करता है, गलत होनी चाहिए।