प्रस्तावनात्मक और प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र

प्रस्तावनात्मक और प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र शास्त्रीय तर्कशास्त्र के कार्यसाधक औपचारिक तंत्र हैं, जो अधिकांश सामान्य और गणितीय तर्कणा को विनियमित करने के लिए पर्याप्त रूप से अभिव्यंजक हैं।

Definition

प्रस्तावनात्मक तर्कशास्त्र सत्य-कार्यात्मक संयोजकों द्वारा संयोजित संपूर्ण वाक्यों के बीच अनुमान का अध्ययन करता है; प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र इसे व्यक्तियों के एक डोमेन पर क्वांटिफायर और विधेय तथा संबंधों के साथ विस्तारित करता है, जबकि परिमाणीकरण को गुणों के बजाय व्यक्तियों तक ही सीमित रखता है।

Scope

यह विषय शास्त्रीय प्रस्तावनात्मक कलन (सत्य-कार्यात्मक संयोजक) और प्रथम-क्रम विधेय तर्कशास्त्र (क्वांटिफायर, चर और संबंध) के सिंटैक्स, सिमेंटिक्स और प्रमाण सिद्धांत को शामिल करता है। इसमें केंद्रीय मेटाथियोरेटिक परिणाम — सुदृढ़ता (soundness), पूर्णता (completeness), सघनता (compactness), और लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय — और तर्क को विनियमित करने तथा गणित की नींव के लिए विहित ढांचे के रूप में प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र के दार्शनिक महत्व शामिल हैं।

Core questions

• प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र की अभिव्यंजक पहुंच क्या है, और इसमें क्या व्यक्त नहीं किया जा सकता है?
• प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र को अक्सर विनियमन के लिए विशेषाधिकार प्राप्त तर्कशास्त्र क्यों माना जाता है?
• पूर्णता और सघनता हमें सिंटैक्स और सिमेंटिक्स के बीच संबंध के बारे में क्या बताती हैं?
• द्वितीय-क्रम में जाने के दार्शनिक लागत और लाभ क्या हैं?

Key concepts

• सत्य-कार्यात्मक संयोजक
• क्वांटिफायर और चर
• संतुष्टि और मॉडल
• पूर्णता और सघनता
• लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय
• प्रथम-क्रम बनाम द्वितीय-क्रम तर्कशास्त्र

Key theories

प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र की पूर्णता

गोडेल का पूर्णता प्रमेय स्थापित करता है कि प्रत्येक प्रथम-क्रम सिमेंटिक परिणाम एक मानक निगमनात्मक प्रणाली में सिद्ध करने योग्य है, इसलिए प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र के लिए व्युत्पन्नता और मॉडल-सैद्धांतिक वैधता संपाती होती है।

प्रथम-क्रम रूढ़िवादिता

क्विन विहित तर्कशास्त्र को प्रथम-क्रम तक सीमित रखने का बचाव करते हैं, इस आधार पर कि यह पूर्ण है, सत्तामीमांसीय रूप से स्पष्ट है, और द्वितीय-क्रम तर्कशास्त्र की समुच्चय-सैद्धांतिक प्रतिबद्धताओं और अपूर्णता से मुक्त है।

History

फ्रेगे के 1879 के बेग्रिफ्सक्रिफ्ट ने क्वांटिफायर-चर संकेतन और विधेय तर्कशास्त्र की पहली प्रणाली प्रस्तुत की, जिसकी पीयर्स ने स्वतंत्र रूप से प्रत्याशा की थी। मेटाथ्योरी बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में गोडेल के पूर्णता प्रमेय (1929) और सघनता तथा लोवेनहाइम-स्कोलेम परिणामों के साथ स्थापित हुई, जिसके बाद क्विन और अन्य ने प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र को विहित तार्किक ढांचे के रूप में बढ़ावा दिया।

Debates

क्या प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र सही विहित तर्कशास्त्र है?

क्या तर्कशास्त्र को उसकी पूर्णता और सत्तामीमांसीय स्पष्टता को देखते हुए प्रथम-क्रम तक सीमित रखा जाना चाहिए, या पूर्णता की लागत और भारी गणितीय प्रतिबद्धताओं पर अधिक अभिव्यंजक शक्ति के लिए द्वितीय-क्रम तर्कशास्त्र तक विस्तारित किया जाना चाहिए।

Key figures

• Gottlob Frege
• Kurt Godel
• W. V. O. Quine
• Charles Sanders Peirce
• Herbert Enderton

Seminal works

• frege1879
• quine1986

Frequently asked questions

प्रथम-क्रम और द्वितीय-क्रम तर्कशास्त्र में क्या अंतर है?

प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र केवल एक डोमेन में व्यक्तिगत वस्तुओं पर परिमाणीकरण करता है। द्वितीय-क्रम तर्कशास्त्र उन वस्तुओं के गुणों, संबंधों और कार्यों पर भी परिमाणीकरण की अनुमति देता है। द्वितीय-क्रम तर्कशास्त्र कहीं अधिक अभिव्यंजक है लेकिन इसमें एक पूर्ण प्रमाण प्रणाली का अभाव है और यह मजबूत गणितीय प्रतिबद्धताओं को वहन करता है, यही कारण है कि कई दार्शनिक प्रथम-क्रम तर्कशास्त्र को विहित मानते हैं।