Transformations et Moments

Les fonctions de variables aléatoires possèdent leurs propres distributions, obtenues par des formules de changement de variables, et les moments ainsi que leurs fonctions génératrices résument une distribution à travers sa moyenne, sa variance et la forme de ses ordres supérieurs.

Definition

Une transformation d'une variable aléatoire est une fonction mesurable de celle-ci dont la distribution est obtenue en propageant la loi originale, et les moments sont les espérances des puissances d'une variable aléatoire qui résument la position, la dispersion et la forme de sa distribution.

Scope

Ce sujet couvre la distribution des fonctions d'une ou plusieurs variables aléatoires par les formules de changement de variables et du jacobien, les moments et moments centrés, la variance et la covariance, les fonctions génératrices des moments et des cumulants, les relations entre les moments, les cumulants, l'asymétrie (skewness) et l'aplatissement (kurtosis), ainsi que le problème des moments concernant les conditions sous lesquelles les moments déterminent une distribution.

Core questions

• Comment la distribution d'une fonction de variables aléatoires est-elle calculée à partir de la distribution originale ?
• Que mesurent les moments successifs d'une distribution ?
• Comment les fonctions génératrices encodent-elles tous les moments simultanément ?
• Quand les moments d'une distribution la déterminent-ils de manière unique ?

Key concepts

• changement de variables et jacobien
• moments et moments centrés
• variance et covariance
• cumulants
• problème des moments

Key theories

Formule de changement de variables

Pour une transformation lisse et inversible, la densité de la variable transformée est la densité originale évaluée à l'inverse, mise à l'échelle par la valeur absolue du déterminant jacobien, ce qui constitue l'outil standard pour dériver la loi d'une fonction de variables aléatoires.

Fonctions génératrices des moments et des cumulants

Lorsqu'elle existe, la fonction génératrice des moments encode tous les moments par ses dérivées à l'origine, et son logarithme, la fonction génératrice des cumulants, possède des cumulants qui s'additionnent pour des variables indépendantes, simplifiant ainsi l'étude des sommes.

Le problème des moments

Les moments déterminent une distribution de manière unique sous certaines conditions de croissance, telles que celles de Carleman, mais des distributions à queue lourde comme la log-normale peuvent partager tous leurs moments avec d'autres distributions, de sorte que les moments ne caractérisent pas toujours une loi.

Clinical relevance

Les transformations et les moments sont des outils quotidiens de la probabilité appliquée : la dérivation de la distribution d'une quantité transformée soutient la simulation et la propagation des erreurs, les moments fournissent les moyennes, les variances et les corrélations utilisées dans toutes les statistiques et la théorie des portefeuilles, et l'asymétrie et l'aplatissement signalent les écarts par rapport à la normalité dans l'analyse des risques et du contrôle qualité.

History

Les moments et le problème des moments ont été au centre des travaux de Chebyshev, Markov et Stieltjes au XIXe siècle, qui ont utilisé les méthodes des moments pour prouver les premiers théorèmes limites ; la technique de changement de variables pour les densités est l'équivalent probabiliste de la règle de substitution du calcul différentiel et intégral.

Key figures

• Pafnuty Chebyshev
• Thomas Stieltjes
• William Feller
• Carl Friedrich Gauss

Seminal works

• feller1971

Frequently asked questions

Les moments d'une distribution la déterminent-ils toujours ?

Pas toujours ; sous certaines conditions de croissance sur les moments, ils le font, mais certaines distributions, comme la log-normale, partagent tous leurs moments avec des distributions distinctes, de sorte que la suite des moments peut ne pas suffire à définir la loi.

Pourquoi introduire les cumulants en plus des moments ?

Les cumulants s'additionnent pour des variables aléatoires indépendantes, ils se comportent donc plus simplement pour les sommes que les moments ; le deuxième cumulant est la variance et les cumulants d'ordre supérieur mesurent les écarts par rapport à la normalité, tous ces cumulants étant nuls au-delà de l'ordre deux pour la distribution normale.