Variables aléatoires et fonctions de répartition

Une variable aléatoire est une application mesurable d'un espace de probabilité vers la droite réelle, et sa fonction de répartition, qui représente la probabilité que la variable ne dépasse pas un niveau donné, constitue la méthode universelle pour décrire la dispersion de ses valeurs.

Definition

Une variable aléatoire est une fonction mesurable d'un espace de probabilité vers les nombres réels, et sa fonction de répartition associe à chaque nombre réel la probabilité que la variable prenne une valeur inférieure ou égale à ce nombre.

Scope

Ce sujet aborde la mesurabilité des variables aléatoires réelles et à valeurs vectorielles, la fonction de répartition et ses propriétés définissantes de monotonie, de continuité à droite et de limites, la correspondance entre les fonctions de répartition et les mesures de probabilité sur la droite réelle, les densités et la décomposition de Lebesgue en parties discrètes, absolument continues et singulières, ainsi que les distributions conjointes des vecteurs aléatoires avec leurs marginales.

Core questions

• Que signifie pour une fonction sur un espace de probabilité d'être une variable aléatoire ?
• Quelles propriétés caractérisent une fonction de répartition, et comment détermine-t-elle la distribution ?
• Quand une distribution possède-t-elle une densité, et quelles sont les alternatives ?
• Comment les distributions conjointes et marginales de plusieurs variables aléatoires sont-elles liées ?

Key concepts

• fonction mesurable
• fonction de répartition
• densité de probabilité
• décomposition de Lebesgue
• distributions conjointes et marginales

Key theories

Correspondance des fonctions de répartition

Toute mesure de probabilité sur la droite réelle correspond à une fonction de répartition unique, non décroissante, continue à droite, avec des limites zéro et un, et réciproquement, offrant une description complète et concrète des distributions unidimensionnelles.

Décomposition de Lebesgue d'une distribution

Toute distribution sur la droite réelle se décompose de manière unique en une partie discrète supportée sur des atomes, une partie absolument continue avec une densité, et une partie singulière continue, clarifiant ainsi quand une densité de probabilité existe et quand elle n'existe pas.

Clinical relevance

Les fonctions de répartition sont ce que les données empiriques estiment et ce que les modèles statistiques postulent ; la fonction de répartition empirique est à la base des tests d'adéquation et du bootstrap, les quantiles dérivés de la fonction de répartition définissent la valeur à risque et les intervalles de référence, et les densités sont les objets ajustés dans la plupart des inférences basées sur la vraisemblance.

History

La reconnaissance qu'une variable aléatoire est simplement une fonction mesurable et que son comportement est capturé par une fonction de répartition est apparue avec la reformulation de la théorie des probabilités basée sur la théorie de la mesure au début du XXe siècle, remplaçant le traitement antérieur au cas par cas des distributions particulières.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• William Feller
• Henri Lebesgue

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

Toute variable aléatoire possède-t-elle une densité ?

Non ; seules les variables aléatoires dont la distribution est absolument continue possèdent une densité. Les variables discrètes placent de la masse sur des points individuels, et les distributions singulières continues, plus rares, n'ont pas de densité même si elles ne possèdent pas d'atomes.

Pourquoi la fonction de répartition est-elle définie avec un « inférieur ou égal » plutôt qu'un « strictement inférieur » ?

La convention du « inférieur ou égal » rend la fonction de répartition continue à droite, ce qui est le choix naturel qui la met en correspondance claire avec la mesure de probabilité sous-jacente et ses atomes.