Solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps
La détermination des niveaux d'énergie et des fonctions d'onde stationnaires d'une particule quantique dans un potentiel constitue la première tâche de la mécanique quantique computationnelle, résolue soit par la méthode de tir le long de la fonction d'onde, soit par la diagonalisation d'un hamiltonien discrétisé.
Definition
L'équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation aux valeurs propres dont les solutions sont les états stationnaires et les niveaux d'énergie d'un système quantique ; la résoudre numériquement signifie trouver ces valeurs propres et fonctions propres pour un potentiel donné.
Scope
Ce sujet aborde la résolution numérique de l'équation de Schrödinger stationnaire en une et quelques dimensions : la méthode de tir et d'ajustement avec recherche de valeurs propres, la méthode d'intégration de Numerov, et les méthodes matricielles qui discrétisent l'hamiltonien sur une grille ou dans une base. Il traite des états liés et, brièvement, des états de diffusion.
Core questions
- Comment la méthode de tir permet-elle de trouver les valeurs propres de l'énergie en imposant des conditions aux limites ?
- Pourquoi la méthode de Numerov est-elle particulièrement adaptée à l'intégration de l'équation de Schrödinger ?
- Comment la discrétisation de l'hamiltonien transforme-t-elle le problème en une diagonalisation matricielle ?
- Comment les états liés discrets sont-ils distingués du continuum ?
Key theories
- Méthode de tir et d'ajustement
- La fonction d'onde est intégrée depuis les frontières vers l'intérieur pour une énergie d'essai, et l'énergie est ajustée jusqu'à ce que les solutions intérieure et extérieure se raccordent de manière continue, ce qui sélectionne les valeurs propres permises.
- Intégration de Numerov
- La méthode de Numerov exploite la structure particulière de l'équation de Schrödinger, sans terme de dérivée première, pour atteindre une précision d'ordre élevé à faible coût lors de l'intégration de la fonction d'onde.
- Diagonalisation matricielle de l'hamiltonien
- La représentation de l'hamiltonien sur une grille ou dans une base finie produit une matrice dont les valeurs propres sont les niveaux d'énergie et dont les vecteurs propres sont les fonctions d'onde discrétisées, obtenues par des solveurs de valeurs propres standards.
Clinical relevance
La résolution de l'équation de Schrödinger stationnaire permet d'obtenir les niveaux d'énergie atomiques et moléculaires, les spectres des puits quantiques et des nanostructures, ainsi que les orbitales à une particule qui alimentent les calculs de structure électronique.
History
L'intégration numérique de l'équation de Schrödinger a suivi peu après sa formulation en 1926, la méthode de Numerov, initialement conçue pour la mécanique céleste, devenant un pilier ; le développement des ordinateurs a fait de la diagonalisation complète de l'hamiltonien une alternative courante.
Key figures
- Boris Numerov
- Erwin Schrodinger
- Jos Thijssen
Related topics
Seminal works
- thijssen2007
- giordano2006
Frequently asked questions
- Quand la méthode de tir devrait-elle être utilisée plutôt que la diagonalisation matricielle ?
- La méthode de tir est naturelle et précise pour les problèmes unidimensionnels ou radiaux où une seule valeur propre est recherchée à la fois. La diagonalisation matricielle est plus pratique lorsque de nombreux niveaux sont nécessaires simultanément ou dans des dimensions supérieures où la méthode de tir devient difficile.
- Pourquoi la méthode de Numerov est-elle préférée pour cette équation ?
- L'équation de Schrödinger ne contient pas de terme de dérivée première, ce que le schéma de Numerov est spécifiquement conçu pour exploiter, offrant une précision d'ordre quatre avec peu de travail supplémentaire par rapport à un intégrateur de base.