Intégration de Monte Carlo

L'intégration de Monte Carlo estime une intégrale définie comme la moyenne de l'intégrande sur des points d'échantillonnage aléatoires, reformulant ainsi l'intégration comme l'estimation d'une espérance.

Definition

L'intégration de Monte Carlo est l'approximation d'une intégrale en l'exprimant comme l'espérance d'une fonction sous une distribution d'échantillonnage et en estimant cette espérance par la moyenne de l'échantillon sur des tirages de la distribution.

Scope

Ce sujet aborde la représentation d'une intégrale comme une espérance, l'estimateur de Monte Carlo simple (brut) et son caractère non biaisé, le taux de convergence en racine de n et son indépendance vis-à-vis de la dimension, l'estimation de l'erreur par l'écart-type de l'échantillon, et la comparaison avec la quadrature déterministe. Les améliorations visant à réduire la variance sont traitées comme des extensions abordées ailleurs.

Core questions

• Comment une intégrale arbitraire est-elle exprimée comme une espérance adaptée à l'échantillonnage ?
• Pourquoi l'estimateur de Monte Carlo brut est-il non biaisé et convergent ?
• Qu'est-ce qui régit le taux d'erreur en racine de n, et pourquoi est-il indépendant de la dimension ?
• Quand l'intégration de Monte Carlo surpasse-t-elle la quadrature déterministe ?

Key concepts

• Estimateur de Monte Carlo brut
• Caractère non biaisé
• Erreur standard
• Indépendance vis-à-vis de la dimension
• Densité d'échantillonnage

Key theories

Intégrale comme espérance

Écrire une intégrale comme l'espérance de l'intégrande divisée par une densité d'échantillonnage transforme l'intégration en l'estimation d'une moyenne, que la moyenne de l'échantillon estime sans biais.

Taux de convergence et estimation de l'erreur

Le théorème central limite donne une erreur standard proportionnelle à l'inverse de la racine carrée de la taille de l'échantillon, indépendante de la dimension de l'intégrale, et l'écart-type empirique des termes fournit une estimation d'erreur utilisable.

Clinical relevance

L'intégration de Monte Carlo calcule des constantes de normalisation, des espérances a posteriori, des vraisemblances marginales et des espérances de haute dimension qui apparaissent en statistique et dans les sciences physiques ; son taux d'erreur indépendant de la dimension en fait la méthode de choix lorsque la quadrature basée sur une grille devient irréalisable.

History

L'idée d'estimer des intégrales par échantillonnage remonte aux calculs de Los Alamos des années 1940 et à l'article de 1949 de Metropolis et Ulam ; elle est devenue une pratique courante à mesure que la puissance de calcul augmentait et que les statisticiens ont reconnu son avantage sur la quadrature en haute dimension.

Key figures

• Stanislaw Ulam
• Nicholas Metropolis
• Christian P. Robert

Seminal works

• robert2004
• metropolis1949

Frequently asked questions

Quelle est la précision de l'intégration de Monte Carlo ?

Son erreur diminue comme l'inverse de la racine carrée du nombre d'échantillons, ainsi, quadrupler la taille de l'échantillon divise l'erreur par deux. L'estimateur est également livré avec une estimation d'erreur intégrée provenant de l'écart-type de l'échantillon des valeurs de l'intégrande.

Quand devrais-je préférer Monte Carlo à la quadrature standard ?

Pour les intégrales lisses de faible dimension, la quadrature déterministe converge généralement plus rapidement. Monte Carlo l'emporte en haute dimension, où le coût d'une grille croît exponentiellement mais le taux d'erreur de Monte Carlo reste le même.