Intégration numérique en statistique
L'intégration numérique en statistique évalue les intégrales qui définissent les vraisemblances marginales, les espérances a posteriori et les constantes de normalisation lorsque ces intégrales n'ont pas de forme analytique.
Definition
L'intégration numérique en statistique est l'utilisation de règles de quadrature déterministes et d'approximations analytiques pour évaluer les intégrales qui apparaissent dans l'inférence basée sur la vraisemblance et bayésienne, en particulier les vraisemblances marginales et les moments a posteriori.
Scope
Ce sujet couvre la quadrature déterministe adaptée aux intégrands statistiques, y compris les règles de Gauss-Hermite pour l'intégration des effets aléatoires normaux, la quadrature adaptative et l'approximation de Laplace pour les intégrales dominées par un pic prononcé. Il complète l'intégration de Monte Carlo, qui est abordée dans les méthodes de Monte Carlo, en se concentrant sur les schémas déterministes de faible dimension.
Core questions
- Comment les effets aléatoires sont-ils intégrés hors d'une vraisemblance à l'aide de la quadrature gaussienne ?
- Quand la quadrature adaptative surpasse-t-elle les règles fixes pour les intégrands statistiques ?
- Comment l'approximation de Laplace exploite-t-elle un intégrand à pic prononcé ?
- Quand les méthodes de quadrature déterministes sont-elles préférables à l'intégration de Monte Carlo ?
Key concepts
- Quadrature de Gauss-Hermite
- Quadrature adaptative
- Approximation de Laplace
- Vraisemblance marginale
- Constante de normalisation
Key theories
- Quadrature de Gauss-Hermite pour les effets aléatoires
- Les intégrales par rapport à une densité normale, telles que celles marginalisant les effets aléatoires dans les modèles mixtes, sont évaluées efficacement par les règles de Gauss-Hermite, les versions adaptatives centrant les nœuds près du mode de l'intégrand.
- Approximation de Laplace
- L'approximation d'un intégrand à pic prononcé par une gaussienne autour de son mode fournit une estimation analytique de l'intégrale, précise lorsque le pic domine, et sous-tend une inférence approximative rapide pour de nombreux modèles hiérarchiques.
Clinical relevance
L'ajustement de modèles linéaires généralisés mixtes, le calcul de facteurs de Bayes et l'obtention de résumés a posteriori nécessitent tous l'évaluation d'intégrales intraitables ; la quadrature déterministe et l'approximation de Laplace offrent des alternatives rapides et précises à la simulation pour les intégrales de faible dimension.
History
La quadrature classique et la méthode d'approximation des intégrales de Laplace ont été adaptées par les statisticiens pour le calcul de vraisemblance et bayésien, la quadrature de Gauss-Hermite adaptative et l'approximation de Laplace étant devenues des outils standard pour les modèles mixtes et hiérarchiques.
Key figures
- John Monahan
- Kenneth Lange
- Pierre-Simon Laplace
Related topics
Seminal works
- monahan2011
- lange2010
Frequently asked questions
- Quand devrais-je utiliser la quadrature plutôt que Monte Carlo pour une intégrale statistique ?
- Pour les intégrales de faible dimension avec des intégrands lisses, la quadrature déterministe converge beaucoup plus rapidement et donne une réponse déterministe. Monte Carlo devient préférable à mesure que la dimension augmente, là où les grilles de quadrature deviennent impraticables.
- À quoi sert l'approximation de Laplace ?
- Elle fournit une approximation analytique rapide des intégrales dominées par un seul pic prononcé, telles que les vraisemblances marginales dans les modèles bien identifiés. Elle est précise lorsque l'intégrand est approximativement gaussien près de son mode.