Opérateurs linéaires bornés

Un opérateur linéaire borné est une application linéaire continue entre des espaces normés ; l'étude de tels opérateurs, en particulier des opérateurs compacts, constitue le cœur opérationnel de l'analyse fonctionnelle.

Definition

Un opérateur linéaire borné est une application linéaire entre des espaces normés qui met à l'échelle les longueurs par au plus une constante fixe, ou de manière équivalente, une application linéaire continue ; les opérateurs compacts sont ceux qui transforment les ensembles bornés en ensembles relativement compacts, l'analogue le plus proche en dimension infinie des applications de rang fini.

Scope

Ce sujet couvre l'équivalence entre le caractère borné et la continuité pour les applications linéaires, la norme d'opérateur et l'espace des opérateurs bornés en tant qu'algèbre de Banach, les opérateurs adjoints, l'inversibilité et la résolvante, les opérateurs compacts en tant que limites d'applications de rang fini, et l'alternative de Fredholm pour les équations impliquant des perturbations compactes de l'identité.

Core questions

• Pourquoi le caractère borné et la continuité sont-ils la même condition pour les applications linéaires ?
• Comment l'adjoint d'un opérateur est-il défini, et que représente-t-il ?
• Qu'est-ce qui fait que les opérateurs compacts se comportent presque comme des matrices finies ?
• Quand une équation linéaire a-t-elle une solution, selon l'alternative de Fredholm ?

Key theories

Le caractère borné équivaut à la continuité

Une application linéaire entre des espaces normés est continue si et seulement si elle est bornée ; ainsi, la norme d'opérateur mesure la continuité et fait des opérateurs bornés une algèbre normée, ce qui constitue le fait structurel fondamental de la théorie des opérateurs.

Alternative de Fredholm pour les opérateurs compacts

Pour un opérateur compact, l'équation donnée par l'identité moins cet opérateur a soit une solution unique pour chaque second membre, soit un espace de solutions homogènes de dimension finie, généralisant la théorie de la résolvabilité des systèmes linéaires finis.

Clinical relevance

Les opérateurs bornés et compacts modélisent les opérateurs intégraux et différentiels rencontrés en physique et en ingénierie ; l'alternative de Fredholm régit la résolvabilité des équations intégrales et des problèmes aux limites, et la théorie spectrale des opérateurs compacts sous-tend les développements en fonctions propres utilisés en physique mathématique et en analyse numérique.

History

La théorie des équations intégrales de Fredholm de 1903 a introduit l'alternative de résolvabilité qui porte son nom, et Hilbert et Riesz l'ont abstraite pour en faire la théorie moderne des opérateurs compacts sur les espaces de Hilbert et de Banach au cours des décennies suivantes.

Key figures

• Erik Ivar Fredholm
• David Hilbert
• Frigyes Riesz

Seminal works

• conway1985
• kreyszig1989

Frequently asked questions

Pourquoi le caractère borné implique-t-il la continuité pour les opérateurs linéaires ?

La linéarité permet à la continuité à l'origine de se propager partout, et la continuité à l'origine est précisément l'affirmation que l'opérateur n'étire pas les vecteurs de plus d'un facteur fixe, ce qui est le caractère borné.

Qu'est-ce qui rend les opérateurs compacts spéciaux ?

Ils sont approximables par des opérateurs de rang fini et leur spectre non nul est constitué de valeurs propres s'accumulant uniquement à zéro ; ils se comportent donc beaucoup comme des matrices, ce qui explique la maniabilité des opérateurs intégraux.