Les théorèmes de Gödel et leur philosophie

En encodant l'autoréférence dans l'arithmétique, Gödel a démontré que tout système formel cohérent et suffisamment riche pour l'arithmétique contient des énoncés vrais qu'il ne peut prouver.

Definition

Le premier théorème d'incomplétude de Gödel stipule que tout système formel cohérent, effectivement axiomatisé et capable d'exprimer l'arithmétique élémentaire, contient un énoncé vrai qu'il ne peut ni prouver ni réfuter ; le second stipule qu'un tel système ne peut prouver sa propre cohérence.

Scope

Ce sujet aborde les théorèmes d'incomplétude de Gödel et leur interprétation philosophique. Il traite de la technique d'arithmétisation (numérotation de Gödel) et du lemme diagonal qui construit un énoncé autoréférentiel « Je ne suis pas prouvable » ; du premier théorème (de tels systèmes sont incomplets) et du second (ils ne peuvent prouver leur propre cohérence) ; ainsi que des utilisations philosophiques controversées des théorèmes — des affirmations sur les limites du formalisme et du programme de Hilbert, et les arguments de Lucas-Penrose selon lesquels l'esprit humain dépasse tout algorithme.

Core questions

• Comment la numérotation de Gödel permet-elle à l'arithmétique de parler de ses propres preuves ?
• Que démontrent exactement les théorèmes d'incomplétude, et pour quels systèmes ?
• Quelle a été la signification des théorèmes pour le programme de Hilbert et le logicisme ?
• Les théorèmes montrent-ils que l'esprit dépasse les machines ?

Key concepts

• Numérotation de Gödel (arithmétisation)
• Le lemme diagonal
• L'énoncé de Gödel
• Premier et second théorèmes d'incomplétude
• Le programme de Hilbert
• Cohérence et oméga-cohérence

Key theories

Incomplétude par diagonalisation

Gödel arithmétise la syntaxe de manière à ce qu'une formule puisse exprimer sa propre improuvabilité ; l'énoncé résultant est vrai (si le système est cohérent) mais improuvable, établissant l'incomplétude, et le second théorème montre que la cohérence elle-même est improuvable au sein du système.

L'argument de Lucas-Penrose

Lucas soutient, à partir du théorème de Gödel, que, parce qu'un humain peut percevoir la vérité de l'énoncé de Gödel de toute machine cohérente modélisant l'esprit, l'esprit ne peut être une telle machine ; cet argument est largement contesté.

History

Gödel a prouvé les théorèmes d'incomplétude en 1931, limitant de manière décisive le programme de Hilbert visant à prouver que les mathématiques sont complètes et cohérentes par des moyens finitaires. Les résultats ont eu des répercussions sur la philosophie des mathématiques et de l'esprit, Lucas (1961) puis Penrose tirant des conclusions anti-mécanistes qui ont suscité une vaste littérature critique.

Debates

Les théorèmes réfutent-ils le mécanisme concernant l'esprit ?

La question de savoir si l'argument de Lucas-Penrose déduit validement de l'incomplétude que l'intuition mathématique humaine transcende tout algorithme, ou s'il va trop loin en supposant que nous pouvons toujours connaître notre propre cohérence et reconnaître l'énoncé de Gödel pertinent.

Key figures

• Kurt Godel
• David Hilbert
• J. R. Lucas
• Roger Penrose
• Peter Smith

Seminal works

• godel1931
• smith2013

Frequently asked questions

Le théorème de Gödel signifie-t-il que les mathématiques sont défaillantes ?

Non. Cela signifie qu'aucun système formel cohérent unique ne peut prouver toutes les vérités arithmétiques, et qu'aucun ne peut certifier sa propre cohérence de l'intérieur. Les mathématiques fonctionnent parfaitement bien ; les théorèmes placent plutôt une limite de principe à ce que tout système axiomatique fixe peut accomplir, réfutant l'espoir d'une fondation complète et auto-certifiante.