Paradoxes ensemblistes et théorie des types

L'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes se contient et ne se contient pas à la fois — le paradoxe de Russell a renversé la théorie naïve des ensembles et a remodelé les fondements de la logique.

Definition

Les paradoxes ensemblistes sont des contradictions dérivables dans la théorie naïve des ensembles à partir du principe de compréhension illimitée selon lequel toute condition définit un ensemble ; la théorie des types les bloque en ordonnant les entités en une hiérarchie de types et en interdisant à un ensemble d'appartenir à lui-même.

Scope

Ce sujet aborde les paradoxes logiques et ensemblistes et les réponses fondamentales qu'ils ont provoquées. Il traite du paradoxe de Russell concernant l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes, du paradoxe de Burali-Forti concernant le plus grand ordinal, et du paradoxe de Cantor concernant l'ensemble universel ; du diagnostic de Russell via le principe du cercle vicieux et de la théorie ramifiée des types qui en a résulté dans les Principia Mathematica ; ainsi que de la réponse alternative de la théorie axiomatique des ensembles (Zermelo-Fraenkel) qui restreint la compréhension pour éviter les paradoxes.

Core questions

• Quelle hypothèse de la théorie naïve des ensembles génère le paradoxe de Russell ?
• Éviter les paradoxes nécessite-t-il un principe du cercle vicieux et des restrictions de type ?
• Comment la théorie des types et la théorie axiomatique des ensembles diffèrent-elles en tant que réponses ?
• Les paradoxes logiques sont-ils fondamentalement les mêmes que les paradoxes sémantiques ?

Key concepts

• compréhension illimitée
• paradoxe de Russell
• paradoxes de Burali-Forti et de Cantor
• principe du cercle vicieux
• théorie des types
• axiome de séparation

Key theories

Théorie des types ramifiée

Russell bloque les paradoxes avec le principe du cercle vicieux et une hiérarchie de types dans laquelle une entité ne peut être définie qu'à partir d'entités de niveau inférieur dans la hiérarchie, empêchant l'auto-appartenance et les définitions auto-applicables.

Compréhension restreinte

La théorie axiomatique des ensembles (Zermelo-Fraenkel) abandonne la compréhension illimitée au profit de la séparation et du remplacement, de sorte qu'aucun ensemble de tous les ensembles non membres d'eux-mêmes ne peut être formé, dissolvant ainsi le paradoxe de Russell sans hiérarchie de types.

History

Russell a découvert son paradoxe en 1901 en étudiant le logicisme de Frege, sapant la Loi fondamentale V de Frege. La théorie des types de Russell de 1908 et les Principia Mathematica de 1910 ont proposé une solution ; l'axiomatisation de Zermelo de 1908, étendue plus tard par Fraenkel, en a offert une autre, et ces deux approches ancrent les fondements modernes et la théorie des types simple utilisée en logique et en informatique.

Debates

Théorie des types vs. théorie axiomatique des ensembles

La question de savoir si les paradoxes sont mieux évités par une hiérarchie de types fondée sur le principe du cercle vicieux ou par la restriction des axiomes d'existence d'ensembles, et ce que chaque approche implique quant à la nature des ensembles, des classes, et des définitions prédicatives versus imprédicatives.

Key figures

• Bertrand Russell
• Alfred North Whitehead
• Gottlob Frege
• Ernst Zermelo
• Cesare Burali-Forti

Seminal works

• russell1908
• whiteheadrussell1910

Frequently asked questions

Qu'est-ce que le paradoxe de Russell en termes simples ?

Considérons l'ensemble R de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes. Demandons-nous si R est membre de lui-même. Si c'est le cas, alors par sa propre définition, il ne devrait pas l'être ; si ce n'est pas le cas, alors il remplit les conditions et devrait l'être. Chaque réponse contredit l'autre, ce qui montre que l'hypothèse de la théorie naïve des ensembles selon laquelle toute propriété définit un ensemble doit être fausse.