خمینه های دیفرانسیلپذیر
خمینه دیفرانسیلپذیر فضایی است که به صورت محلی شبیه فضای اقلیدسی به نظر میرسد و از طریق تغییرات مختصات هموار به هم متصل شده است، که آن را به بستری برای انجام حساب دیفرانسیل و انتگرال در فضاهای خمیده تبدیل میکند.
Definition
یک خمینه دیفرانسیلپذیر (هموار) با بعد n، یک فضای توپولوژیکی هاسدورف شمارشپذیر دوم است که مجهز به اطلسی از نمودارها به زیرمجموعههای باز فضای اقلیدسی n-بعدی است که نگاشتهای انتقال آن بینهایت دیفرانسیلپذیر هستند.
Scope
این موضوع خمینه ها را از طریق اطلسهایی از نمودارها با نگاشتهای انتقال هموار تعریف میکند، ساختارهای هموار را توسعه میدهد و ساختارهای اساسی را مورد بررسی قرار میدهد: زیرخمینه ها، قضایای رتبه و مقدار منظم که مجموعههای تراز را به عنوان خمینه ها ارائه میدهند، افراز واحد و تعبیهها در فضای اقلیدسی (قضیه تعبیه ویتنی). این موضوع تمایز بین ساختارهای توپولوژیکی و هموار، وجود شگفتانگیز ساختارهای هموار غیرعادی، و گروههای لی به عنوان خمینه هایی با عملیات گروهی سازگار را معرفی میکند.
Core questions
- چگونه نمودارها و نگاشتهای انتقال هموار اجازه میدهند حساب دیفرانسیل و انتگرال به طور واضح به یک فضای خمیده منتقل شود؟
- چه زمانی یک مجموعه تراز از یک نگاشت هموار، ساختار خمینه طبیعی را حمل میکند؟
- چرا هر خمینه هموار را میتوان در یک فضای اقلیدسی تعبیه کرد؟
- چگونه یک خمینه توپولوژیکی واحد میتواند ساختارهای هموار نابرابر را بپذیرد؟
Key concepts
- نمودارها، اطلسها و نگاشتهای انتقال هموار
- ساختارهای هموار و زیرخمینه ها
- قضیه مقدار منظم و مجموعههای تراز به عنوان خمینه ها
- افراز واحد و قضیه تعبیه ویتنی
- ساختار توپولوژیکی در مقابل ساختار هموار و خمینه های غیرعادی
Clinical relevance
خمینه ها صحنه جهانی برای هندسه و فیزیک مدرن هستند: فضاهای پیکربندی و فاز در مکانیک، فضا-زمان در نسبیت عام، و گروههای لی در تقارن، همگی خمینه هستند، و ظرافتهای ساختار هموار که توسط میلنور کشف شد، توپولوژی قرن بیستم را دگرگون کرد.
History
مفهوم خمینه ریمان در سال ۱۸۵۴ از طریق تعریف اطلسها در اوایل قرن بیستم دقیق شد؛ قضایای تعبیه ویتنی در دهه ۱۹۳۰ به نظریه انتزاعی پایه داد، و کشف میلنور در سال ۱۹۵۶ در مورد ۷-کرههای غیرعادی نشان داد که ساختار هموار اطلاعاتی فراتر از توپولوژی را در خود دارد.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Hassler Whitney
- John Milnor
Related topics
Seminal works
- lee2012
- milnor1956
Frequently asked questions
- چه چیزی یک خمینه را دیفرانسیلپذیر میکند نه فقط توپولوژیکی؟
- یک خمینه توپولوژیکی فقط به نمودارها به فضای اقلیدسی نیاز دارد؛ یک خمینه دیفرانسیلپذیر علاوه بر این نیاز دارد که نگاشتهای انتقال بین نمودارهای همپوشان هموار باشند، به طوری که مفهوم یک تابع هموار روی خمینه به خوبی تعریف شود.
- کره غیرعادی چیست؟
- این یک خمینه همئومورفیک است اما نه دیفئومورفیک به کره استاندارد؛ کشف میلنور از چنین ساختارهایی روی ۷-کره نشان داد که ساختارهای هموار توسط توپولوژی زیرین تعیین نمیشوند.