معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی سهموی
معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی سهموی، که معادله گرما نمونه اولیه آن است، انتشار و هموارسازی برگشتناپذیر یک حالت اولیه را در طول زمان توصیف میکنند.
Definition
یک معادله سهموی، یک معادله تکاملی مرتبه دوم است که بر اساس معادله گرما (u_t برابر با لاپلاسین u) مدلسازی شده است، که در آن یک مشتق زمانی توسط یک عملگر بیضوی فضایی متعادل میشود و منجر به هموارسازی انتشاری حل میگردد.
Scope
این موضوع شامل معادلات گرما و انتشار، حل بنیادی و هسته گرما، مسائل مقدار اولیه و مرزی، اصل ماکسیمم برای معادلات سهموی، سرعت انتشار بینهایت و هموارسازی آنی، و دیدگاه نیمگروه است که تکامل زمانی را به عنوان یک نیمگروه عملگر در نظر میگیرد.
Core questions
- یک توزیع اولیه تحت انتشار چگونه تکامل مییابد؟
- چرا معادلات سهموی دادههای خود را به صورت آنی هموار میکنند؟
- چه اصل ماکسیممی بر مسائل سهموی حاکم است؟
- چهارچوب نیمگروه چگونه تکامل زمانی را توصیف میکند؟
Key theories
- هسته گرما و حل بنیادی
- حل معادله گرما، کانولوشن دادههای اولیه با یک هسته گرمای گاوسی است که گستردگی آن با زمان افزایش مییابد و انتشار را به صراحت کدگذاری میکند.
- هموارسازی و سرعت انتشار بینهایت
- معادلات سهموی بلافاصله حلها را بینهایت مشتقپذیر میکنند و تأثیر هر داده محلیشده را فوراً در سراسر دامنه پخش میکنند، برخلاف معادلات هذلولی.
- فرمولبندی نیمگروه
- تکامل زمانی تحت یک معادله سهموی، یک نیمگروه قویاً پیوسته را تعریف میکند که توسط عملگر فضایی تولید میشود و نتایج وجود و منظم بودن انتزاعی را ارائه میدهد.
Clinical relevance
معادلات سهموی هدایت گرما، انتشار مولکولی و جمعیتی، جریانهای ویسکوز و محیط متخلخل، و قیمتگذاری اختیار معامله از طریق معادله بلک-شولز را مدلسازی میکنند، و قیاس انتشار زیربنای روشهای فضای مقیاس در تحلیل تصویر است.
History
نظریه تحلیلی گرما فوریه در سال 1822 هم معادله گرما و هم سریهایی را که نام او را یدک میکشند، معرفی کرد. تفسیر احتمالی انتشار از طریق حرکت براونی، که توسط اینشتین و کولموگروف مطرح شد، بعدها معادلات سهموی را به فرآیندهای تصادفی مرتبط ساخت.
Key figures
- Joseph Fourier
- Albert Einstein
- Andrey Kolmogorov
- Jacques Hadamard
Related topics
Seminal works
- evans2010
- pazy1983
Frequently asked questions
- سرعت انتشار بینهایت به چه معناست؟
- در معادله گرما، تغییر دادههای اولیه در هر نقطه، اصولاً، فوراً بر حل در همه جا تأثیر میگذارد، زیرا هسته گاوسی در هر نقطه مثبت است. این یک ایدهآلسازی ریاضی است؛ انتشار واقعی سریع است اما به معنای واقعی کلمه در فواصل دلخواه آنی نیست.
- چرا معادله گرما را نمیتوان به عقب برگرداند؟
- انتشار جزئیات دقیق و اطلاعات مربوط به گذشته را از بین میبرد، بنابراین بازسازی حالتهای قبلی خطاهای کوچک را بدون محدودیت تقویت میکند. معادله گرمای معکوس مسئلهای بدوضع است، به همین دلیل است که رفع تاری و مسائل معکوس مشابه نیاز به تنظیم (regularization) دارند.