تانسور متریک و هندسه دیفرانسیل
تانسور متریک، فواصل و زمانها را در فضازمان مشخص میکند و هندسه دیفرانسیل منیفلدها ابزارهایی مانند مشتقات هموردا، اتصالات و تانسورهای خمش را فراهم میآورد که برای انجام فیزیک در یک پسزمینه خمیده مورد نیاز است.
Definition
تانسور متریک یک میدان تانسوری متقارن، غیرتباهیده و مرتبه دو است که بازه فضازمان و ضرب داخلی بردارها را تعریف میکند، و از آن اتصال منحصربهفرد بدون پیچش و سازگار با متریک و تمام کمیات خمش نسبیت عام استخراج میشوند.
Scope
این موضوع شامل منیفلدها و نمودارهای مختصات، بردارهای مماس و یکفرمها، تانسور متریک و عنصر خط، بالا و پایین آوردن اندیسها، اتصال لوی-چیویتا و نمادهای کریستوفل، مشتقگیری هموردا، و تانسورهای خمش (ریمان، ریچی، اسکالر) است که از متریک ساخته میشوند.
Core questions
- چگونه تانسور متریک تمام اطلاعات هندسی مربوط به فضازمان را کدگذاری میکند؟
- چرا به جای مشتقات جزئی معمولی به یک مشتق هموردا نیاز است؟
- چگونه تانسورهای خمش از متریک ساخته میشوند؟
Key concepts
- منیفلد و نمودار مختصات
- بردارهای مماس و یکفرمها
- تانسور متریک و عنصر خط
- نمادهای کریستوفل
- مشتق هموردا
- خمش ریچی و اسکالر
Key theories
- متریک و عنصر خط
- تانسور متریک مربع بازه بین رویدادهای نزدیک و ضرب داخلی بردارها را تعریف میکند، به طوری که طولها، زاویهها، زمانها و روابط علّی همگی از یک میدان تانسوری متقارن واحد بر روی منیفلد ناشی میشوند.
- اتصال لوی-چیویتا و خمش
- سازگاری با متریک و پیچش صفر، یک اتصال منحصربهفرد را مشخص میکند که نمادهای کریستوفل آن مشتقگیری هموردا و انتقال موازی را تعریف میکنند، و از آن خمشهای ریمان، ریچی و اسکالر ساخته میشوند.
Clinical relevance
متریک و حساب تانسوری ابزارهای کاری برای هر پیشبینی کمی در نسبیت عام هستند، از نوشتن راهحلهایی مانند متریکهای شوارتزشیلد و فریدمن گرفته تا انجام شبیهسازیهای نسبیت عددی که برای مدلسازی سیاهچالهها و ستارههای نوترونی در حال ادغام استفاده میشوند.
History
ریمان در سال ۱۸۵۴ هندسه ذاتی گاوس را به منیفلدهای با ابعاد بالاتر تعمیم داد؛ کریستوفل، ریچی و لوی-چیویتا در دهههای بعدی حساب دیفرانسیل مطلق تانسورها را بنا نهادند و دقیقاً دستگاهی را فراهم کردند که اینشتین و گروسمان برای فرمولبندی نسبیت عام به آن نیاز داشتند.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Gregorio Ricci-Curbastro
- Tullio Levi-Civita
- Elwin Bruno Christoffel
Related topics
Seminal works
- wald1984
- carroll2004
Frequently asked questions
- چرا نسبیت عام به یک مشتق هموردا نیاز دارد؟
- مشتقات جزئی معمولی مؤلفههای تانسور تحت تغییرات مختصات دلخواه به عنوان تانسور تبدیل نمیشوند؛ مشتق هموردا جملات اتصال را اضافه میکند تا مشتقگیری تانسورهای واقعی تولید کند و قوانین فیزیک در تمام دستگاههای مختصات شکل یکسانی داشته باشند.
- آیا متریک یک چیز فیزیکی است یا فقط یک راحتی مختصاتی؟
- متریک یک میدان فیزیکی است: این میدان گرانشی نسبیت عام است که بازههای قابل اندازهگیری و حرکت ماده را تعیین میکند، و دینامیک آن توسط معادلات میدان اینشتین ثابت میشود نه اینکه آزادانه انتخاب شود.