روش مستقیم در حساب تغییرات
روش مستقیم با کار بر روی دنبالههای کاهنده و فشردگی، به جای حل معادله اویلر-لاگرانژ، وجود یک کمینهساز برای یک تابعک را اثبات میکند.
Definition
روش مستقیم اثبات میکند که یک تابعک به اینفیموم خود میرسد، با انتخاب یک دنباله کاهنده، استخراج یک زیردنباله همگرا با استفاده از فشردگی، و استفاده از نیمپیوستگی پایین برای نشان دادن اینکه حد یک کمینهساز واقعی است.
Scope
این موضوع شامل دنبالههای کاهنده، واداشتهگی (coercivity)، فشردگی ضعیف در فضاهای سوبولف، نیمپیوستگی پایین ضعیف و ارتباط آن با تحدب انتگرالدهنده، وجود کمینهسازها، و نقش این ایدهها در نظریه مدرن معادلات دیفرانسیل جزئی و منظم بودن جوابها میشود.
Core questions
- چه زمانی تضمین میشود که یک تابعک به کمینه خود میرسد؟
- واداشتهگی و فشردگی چه نقشی ایفا میکنند؟
- چرا نیمپیوستگی پایین ضعیف، که به تحدب گره خورده است، فرضیه کلیدی است؟
- این روش چگونه مسائل تغییراتی را به معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبط میکند؟
Key theories
- واداشتهگی و فشردگی ضعیف
- واداشتهگی دنبالههای کاهنده را مجبور میکند که در یک فضای تابعی مناسب کراندار باقی بمانند، و بازتابندگی یک زیردنباله همگرای ضعیف را فراهم میکند که یک کمینهساز کاندید را ارائه میدهد.
- نیمپیوستگی پایین ضعیف و تحدب
- اگر تابعک نیمپیوسته پایین ضعیف باشد، مقدار در حد ضعیف از اینفیموم حدی تجاوز نمیکند، و تحدب انتگرالدهنده در گرادیان شرط استاندارد تضمینکننده این ویژگی است.
- وجود کمینهسازها
- ترکیب کرانداری، فشردگی ضعیف، و نیمپیوستگی پایین، وجود یک کمینهساز را به دست میدهد، که سپس معادله اویلر-لاگرانژ را به معنای ضعیف ارضا میکند.
Clinical relevance
روش مستقیم پایه و اساس نظریه وجود مدرن برای معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی و مدلهای تغییراتی در کشسانی، علم مواد، و پردازش تصویر است، جایی که کمینهسازها پیکربندیهای تعادلی را نشان میدهند.
History
هیلبرت در حدود سال ۱۹۰۰ از اثبات مستقیم وجود کمینهسازها حمایت کرد و اصل دیریکله را تأیید نمود. تونلی این روش را در دهه ۱۹۱۰ با استفاده از نیمپیوستگی پایین نظاممند کرد، و توسعه بعدی فضاهای سوبولف و شبهتحدب موری (Morrey's quasiconvexity) به آن شکل تحلیل تابعی مدرن خود را بخشید.
Key figures
- David Hilbert
- Leonida Tonelli
- Charles B. Morrey
- Sergei Sobolev
Related topics
Seminal works
- dacorogna2008
- evans2010
Frequently asked questions
- چرا فقط معادله اویلر-لاگرانژ را حل نکنیم؟
- معادله اویلر-لاگرانژ تنها یک شرط لازم است، و برای مسائل غیرخطی ممکن است حل صریح آن غیرممکن باشد یا حتی ندانیم که یک جواب وجود دارد. روش مستقیم ابتدا وجود یک کمینهساز را اثبات میکند، که سپس یک جواب ضعیف برای معادله به دست میدهد.
- چرا تحدب در اینجا مهم است؟
- تحدب انتگرالدهنده در گرادیان، نیمپیوستگی پایین ضعیف تابعک را تضمین میکند، که دقیقاً ویژگی مورد نیاز برای عبور به حد یک دنباله کاهنده است. بدون آن، یک دنباله کاهنده میتواند نوسان کند به طوری که حد ضعیف آن یک کمینهساز نباشد.