جاذبها
جاذب مجموعهای است که مسیرهای یک سیستم دینامیکی به سمت آن همگرا میشوند و رفتار بلندمدت سیستم را پس از فروپاشی گذراها (transients) به تصویر میکشد.
Definition
جاذب یک مجموعه ناوردا و بسته است که یک همسایگی باز از شرایط اولیه را جذب میکند، به طوری که مسیرهای نزدیک به آن با افزایش زمان به سمت آن میل میکنند؛ این جاذب ممکن است یک نقطه، یک منحنی بسته، یا یک جاذب عجیب با هندسه پیچیده باشد.
Scope
این موضوع شامل جاذبهای نقطه ثابت، چرخه حدی و چنبرهای، حوضههای جاذبه، قضیه پوانکاره-بندیکسون در صفحه، جاذبهای عجیب با ساختار فراکتالی، و توصیف جاذبها با نماهای لیاپانوف و بعد فراکتالی میشود.
Core questions
- یک سیستم اتلافکننده (dissipative) به چه حالتهای بلندمدتی میرسد؟
- کدام شرایط اولیه به سمت یک جاذب مشخص کشیده میشوند؟
- چه نوع جاذبهایی در صفحه و در ابعاد بالاتر ممکن هستند؟
- هندسه فراکتالی یک جاذب عجیب چگونه اندازهگیری میشود؟
Key theories
- قضیه پوانکاره-بندیکسون
- مسیر محدود یک سیستم صفحهای که از نقاط تعادل دوری میکند، باید به یک مدار تناوبی نزدیک شود، بنابراین تنها جاذبهای دو بعدی نقاط ثابت و چرخههای حدی هستند، و آشوب حداقل به سه بعد نیاز دارد.
- جاذبهای عجیب
- سیستمهای آشوبناک اتلافکننده دارای جاذبهایی با هندسه فراکتالی هستند که دینامیک آنها به شرایط اولیه حساس است، مانند جاذبهای لورنز و هنون.
- حوضههای جاذبه
- هر جاذب مجموعهای از شرایط اولیه را که حوضه آن را تشکیل میدهند، به خود جذب میکند، و مرزهای بین حوضههای رقیب میتوانند خود هموار یا فراکتالی باشند.
Clinical relevance
جاذبها رفتارهای پایدار ممکن سیستمهای فیزیکی و بیولوژیکی را طبقهبندی میکنند و تعادلها، نوسانات پایدار و آشوب را از هم متمایز میسازند. هندسه حوضهها نیز زیربنای چندپایداری و تغییر ناگهانی بین حالتهای جایگزین در بومشناسی، اقلیم و مهندسی است.
History
قضیه پوانکاره-بندیکسون در حدود سال ۱۹۰۰، مجموعه محدود جاذبهای صفحهای را تثبیت کرد. اصطلاح «جاذب عجیب» توسط روئل و تاکنز در سال ۱۹۷۱ در نظریه آشفتگی آنها معرفی شد، و جاذب لورنز به نمونهای کهنالگویی از جاذبه آشوبناک فراکتالی تبدیل شد.
Key figures
- Henri Poincare
- Ivar Bendixson
- Edward Lorenz
- David Ruelle
Related topics
Seminal works
- guckenheimer1983
- wiggins1990
Frequently asked questions
- چرا یک جاذب عجیب، «عجیب» نامیده میشود؟
- زیرا دارای هندسه فراکتالی و با بعد غیرصحیح است و از دینامیک آشوبناک پشتیبانی میکند، برخلاف نقاط و حلقههای سادهای که سیستمهای معمولی را جذب میکنند. این نام هم به ساختار پیچیده آن و هم به وابستگی حساس به شرایط اولیه حرکت بر روی آن اشاره دارد.
- چرا آشوب در دو بعد غیرممکن است؟
- قضیه پوانکاره-بندیکسون نشان میدهد که مسیرهای محدود صفحهای باید به یک نقطه ثابت یا یک چرخه بسته نزدیک شوند، و جایی برای سرگردانی غیرتناوبی آشوب باقی نمیگذارند. بنابراین، جاذبهای آشوبناک حداقل به سه بعد از فضای فاز نیاز دارند.