Series de Fourier

Una serie de Fourier expande una función periódica como una suma de senos y cosenos, descomponiéndola en sus frecuencias fundamentales y planteando la cuestión central de cuándo la serie reconstruye la función.

Definition

Una serie de Fourier es la representación de una función periódica como una combinación infinita de senos y cosenos, o exponenciales complejas, cuyos coeficientes se determinan integrando la función con respecto a esas oscilaciones básicas.

Scope

Este tema abarca los coeficientes de Fourier de una función periódica, las sumas parciales y su núcleo de Dirichlet, los criterios de convergencia puntual y uniforme, el fenómeno de Gibbs en las discontinuidades, la convergencia en media y la identidad de Parseval, los métodos de sumabilidad como las medias de Cesaro y Abel con el núcleo de Fejer, y la completitud del sistema trigonométrico en funciones de cuadrado integrable.

Core questions

• ¿Cómo se calculan los coeficientes de Fourier de una función periódica?
• ¿Cuándo converge la serie de Fourier de nuevo a la función, y en qué sentido?
• ¿Por qué los métodos de sumabilidad restauran la convergencia donde las sumas parciales fallan?
• ¿Por qué el sistema trigonométrico forma una base ortonormal completa de funciones de cuadrado integrable?

Key theories

Convergencia en media cuadrática e identidad de Parseval

La serie de Fourier de una función periódica de cuadrado integrable converge a ella en el sentido de la media cuadrática, y la suma de los coeficientes al cuadrado es igual a la norma al cuadrado de la función, expresando el sistema trigonométrico como una base ortonormal completa.

Teorema de Fejer

Las medias de Cesaro de las sumas parciales de la serie de Fourier de una función periódica continua convergen uniformemente a la función, recuperando la convergencia mediante el promedio incluso cuando las sumas parciales por sí mismas no convergen.

Clinical relevance

Las series de Fourier son la base del análisis espectral de señales periódicas, utilizadas en acústica, análisis de vibraciones, ingeniería eléctrica y la solución de las ecuaciones de calor y onda mediante separación de variables, donde la descomposición de un estado en modos de frecuencia hace que las ecuaciones sean solubles.

History

Fourier introdujo las expansiones trigonométricas en su teoría del calor de 1822, afirmando una generalidad que provocó décadas de escrutinio. Dirichlet dio el primer teorema de convergencia riguroso en 1829, y el resultado de sumabilidad de Fejer de 1900 aclaró la convergencia para funciones continuas.

Key figures

• Joseph Fourier
• Lejeune Dirichlet
• Lipot Fejer

Seminal works

• stein2003fourier
• katznelson2004

Frequently asked questions

¿Una serie de Fourier siempre converge a su función?

No puntualmente en general; las funciones continuas pueden tener series de Fourier que divergen en algunos puntos, pero la serie siempre converge en el sentido de la media cuadrática para funciones de cuadrado integrable, y los métodos de sumabilidad recuperan la convergencia uniforme para las funciones continuas.

¿Qué es el fenómeno de Gibbs?

Cerca de una discontinuidad de salto, las sumas parciales de una serie de Fourier sobrepasan la función en una proporción fija que no desaparece a medida que se añaden más términos, un artefacto de la convergencia puntual en las discontinuidades.