Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno completo, una generalización de dimensión infinita de la geometría euclidiana donde las nociones de ángulo, ortogonalidad y proyección conservan toda su potencia.

Definition

Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial con un producto interno que es completo en la norma que el producto interno induce; el producto interno proporciona una geometría de longitudes y ángulos que hace posible la proyección ortogonal y la expansión ortonormal.

Scope

Este tema abarca el producto interno y su norma inducida, las identidades de Cauchy-Schwarz y del paralelogramo, la ortogonalidad y los complementos ortogonales, el teorema de proyección sobre conjuntos convexos cerrados, las bases ortonormales y la identidad de Parseval, y el teorema de representación de Riesz que identifica un espacio de Hilbert con su dual.

Core questions

• ¿Cómo equipa un producto interno a un espacio de dimensión infinita con geometría?
• ¿Por qué cada conjunto convexo cerrado admite un punto único más cercano, y qué proporciona esta proyección?
• ¿Cómo representan las bases ortonormales cada vector como una serie de Fourier generalizada?
• ¿Por qué un espacio de Hilbert se identifica naturalmente con su propio dual?

Key theories

Teorema de proyección

Todo subconjunto convexo cerrado no vacío de un espacio de Hilbert contiene un punto único más cercano a cualquier vector dado, y la proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado divide el espacio en el subespacio y su complemento ortogonal.

Teorema de representación de Riesz

Todo funcional lineal acotado en un espacio de Hilbert se da por el producto interno con un vector único, por lo que el espacio se identifica isométricamente con su dual, la fuente de gran parte de la conveniencia analítica del espacio.

Clinical relevance

Los espacios de Hilbert son los espacios de estados de la mecánica cuántica, donde la expansión y proyección ortonormal expresan la medición y la superposición; también subyacen a la aproximación por mínimos cuadrados, el análisis de Fourier y de ondículas, el procesamiento de señales y los espacios de núcleo reproductor centrales en el aprendizaje automático moderno.

History

La estructura surgió del estudio de Hilbert de las ecuaciones integrales y las formas cuadráticas infinitas a principios del siglo XX; von Neumann dio la definición axiomática abstracta en la década de 1920 al formular la mecánica cuántica, fijando la noción moderna de un espacio de Hilbert.

Key figures

• David Hilbert
• John von Neumann
• Frigyes Riesz

Seminal works

• conway1985
• stein2005real

Frequently asked questions

¿En qué se diferencia un espacio de Hilbert de un espacio de Banach?

Un espacio de Hilbert posee un producto interno que induce su norma y proporciona geometría, ángulos, ortogonalidad y proyección, mientras que un espacio de Banach general solo tiene una norma; todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach, pero no a la inversa.

¿Qué es una base ortonormal?

Es un conjunto maximal de vectores unitarios mutuamente perpendiculares tal que cada elemento del espacio es la suma de sus proyecciones sobre ellos, generalizando la forma en que las series de Fourier expanden funciones en senos y cosenos.