Transformada de Fourier (Aplicada)
Como una transformación integral, la transformada de Fourier descompone una función en sus frecuencias constituyentes y convierte las operaciones de cálculo en álgebra, lo que la convierte en un método fundamental de las matemáticas aplicadas.
Definition
La transformada de Fourier envía una función a una función en el dominio de la frecuencia definida por la integración contra exponenciales complejas; en el uso aplicado, convierte la convolución en multiplicación y la diferenciación en multiplicación por frecuencia, por lo que los problemas se resuelven en el dominio de la transformada y luego se invierten.
Scope
Este tema trata la transformada de Fourier como un método de transformación: su definición e inversa, las reglas operacionales para el desplazamiento, el escalado y la diferenciación, los teoremas de convolución y Parseval-Plancherel, las transformadas de Fourier discreta y rápida, y su uso en la resolución de ecuaciones diferenciales y el análisis de señales y sistemas. Complementa el tratamiento de análisis armónico de la misma transformada.
Core questions
- ¿Cómo reduce la transformada un problema diferencial o de convolución al álgebra?
- ¿Qué reglas operacionales rigen los desplazamientos, escalados y derivadas?
- ¿Cómo se calcula eficientemente la transformada a partir de datos muestreados?
- ¿Cómo se lee y manipula el contenido de frecuencia en las aplicaciones?
Key theories
- Reglas operacionales y propiedad de diferenciación
- La diferenciación se convierte en multiplicación por frecuencia y la traslación se convierte en un factor de fase, por lo que las ecuaciones diferenciales lineales y los filtros se convierten en relaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia.
- Teorema de convolución
- La transformada de una convolución es el producto de las transformadas, lo que subyace al análisis de sistemas lineales, el filtrado y los métodos de solución de la función de Green.
- Transformada de Fourier discreta y rápida
- El muestreo conduce a la transformada de Fourier discreta, que el algoritmo de la transformada rápida de Fourier calcula en operaciones de orden n log n, lo que permite un análisis de frecuencia digital práctico.
Clinical relevance
Los métodos de Fourier aplicados impulsan el procesamiento de señales e imágenes, las telecomunicaciones, el análisis de audio y voz, la óptica y la cristalografía, la espectroscopia y los métodos espectrales para ecuaciones diferenciales parciales, lo que convierte a la transformada en una de las herramientas más utilizadas en la ciencia y la ingeniería.
History
Fourier introdujo la descomposición de frecuencias en su teoría del calor de 1822. La transformada se convirtió en una herramienta de ingeniería práctica a través del cálculo operacional y, de manera decisiva, a través de la transformada rápida de Fourier de Cooley-Tukey de 1965, que hizo que el análisis espectral digital fuera omnipresente.
Key figures
- Joseph Fourier
- Ronald Bracewell
- James Cooley
- John Tukey
Related topics
Seminal works
- folland1992
- bracewell2000
Frequently asked questions
- ¿En qué se diferencia esto de la transformada de Fourier bajo el análisis armónico?
- Es el mismo objeto matemático visto de manera diferente: el tratamiento de análisis armónico enfatiza la teoría subyacente y los espacios de funciones, mientras que este tema de matemáticas aplicadas enfatiza la transformada como un método para resolver ecuaciones y analizar señales, incluyendo las variantes discretas y rápidas.
- ¿Por qué el teorema de convolución es tan útil en las aplicaciones?
- Muchos sistemas físicos actúan sobre las entradas mediante convolución, lo cual es difícil de calcular directamente. En el dominio de la frecuencia, la convolución se convierte en una simple multiplicación, por lo que el filtrado y la respuesta del sistema se calculan transformando, multiplicando y volviendo a transformar, a menudo utilizando la transformada rápida de Fourier.