Ecuaciones de Euler-Lagrange

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las ecuaciones diferenciales de movimiento que se derivan de la condición de que la acción sea estacionaria, una ecuación para cada coordenada generalizada.

Definition

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son el conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden, obtenidas al igualar a cero la variación de la acción, que rigen la evolución temporal de cada coordenada generalizada de un sistema mecánico.

Scope

Este tema abarca la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de Hamilton, su forma para sistemas de coordenadas generalizadas, la definición de momentos generalizados (canónicos), el tratamiento de coordenadas cíclicas que producen momentos conservados y su extensión a sistemas con restricciones mediante multiplicadores de Lagrange. Constituyen el resultado computacional central de la mecánica lagrangiana.

Core questions

• ¿Cómo se derivan las ecuaciones de Euler-Lagrange de la condición de acción estacionaria?
• ¿Qué es un momento generalizado y cuándo se conserva?
• ¿Cómo se incorporan las restricciones mediante los multiplicadores de Lagrange?

Key concepts

• Coordenadas y velocidades generalizadas
• Momento generalizado (canónico)
• Coordenadas cíclicas (ignorables)
• Multiplicadores de Lagrange para restricciones
• Equivalencia con la segunda ley de Newton

Key theories

Ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange

Exigir una acción estacionaria produce, para cada coordenada generalizada, una ecuación que iguala la derivada temporal del momento generalizado a la fuerza generalizada derivada del lagrangiano.

Coordenadas cíclicas y momentos conservados

Cuando el lagrangiano no depende de una coordenada particular, el momento generalizado correspondiente se conserva, lo que proporciona una vía directa para obtener constantes de movimiento.

Clinical relevance

Debido a que generan ecuaciones de movimiento directamente a partir de las energías en cualquier conjunto de coordenadas convenientes, las ecuaciones de Euler-Lagrange son la herramienta de derivación estándar en robótica, dinámica multibody aeroespacial e ingeniería de control, donde los balances de fuerzas cartesianos serían engorrosos.

History

Euler derivó la ecuación central del cálculo de variaciones en la década de 1740, y Lagrange la generalizó y la aplicó sistemáticamente a la mecánica en su obra de 1788, Mécanique analytique, dando a las ecuaciones su nombre conjunto. Su reinterpretación a través del principio de Hamilton en el siglo XIX clarificó su origen variacional.

Key figures

• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

¿Son las ecuaciones de Euler-Lagrange equivalentes a las leyes de Newton?

Sí, para los sistemas que ambas describen. En coordenadas cartesianas con el lagrangiano T − V, reproducen exactamente la segunda ley de Newton, pero son válidas en cualquier coordenada generalizada y manejan las restricciones de manera más limpia.

¿Qué es un momento generalizado?

Es la derivada del lagrangiano con respecto a una velocidad generalizada; para coordenadas cartesianas ordinarias se reduce al momento lineal usual, pero para una coordenada angular es un momento angular.