Principio de Mínima Acción
El principio de mínima acción establece que la trayectoria física que sigue un sistema entre dos configuraciones es aquella para la cual la integral de acción es estacionaria.
Definition
El principio de mínima acción es la afirmación de que un sistema mecánico evoluciona a lo largo de la trayectoria para la cual la acción, la integral del Lagrangiano en el tiempo, es estacionaria bajo pequeñas variaciones de la trayectoria manteniendo los puntos finales fijos.
Scope
Este tema abarca el funcional de acción como la integral temporal del Lagrangiano, el principio de acción estacionaria de Hamilton, el cálculo de variaciones utilizado para extraer trayectorias físicas y la distinción entre el principio más antiguo de Maupertuis (acción abreviada) y el principio de Hamilton. Motiva por qué una única declaración variacional puede codificar toda la mecánica.
Core questions
- ¿Qué es la acción y qué significa que sea estacionaria?
- ¿En qué se diferencia el principio de Hamilton del principio más antiguo de mínima acción de Maupertuis?
- ¿Por qué un único principio variacional puede reproducir toda la dinámica newtoniana?
Key concepts
- Funcional de acción
- Cálculo de variaciones
- Trayectoria estacionaria (extremal)
- Condiciones de contorno (puntos finales)
- Acción abreviada
Key theories
- Principio de Hamilton
- Entre todas las trayectorias con puntos finales fijos en el espacio de configuración, el movimiento físico es aquel cuya integral de acción tiene una primera variación nula, lo que hace que la acción sea estacionaria.
- Principio de acción abreviada de Maupertuis
- Una forma variacional anterior mantiene la energía fija y hace que la acción abreviada sea estacionaria sobre la trayectoria en el espacio de configuración, equivalente bajo condiciones apropiadas al principio de Hamilton.
Clinical relevance
El principio de acción es el puente conceptual de la física clásica a la moderna: se generaliza a la teoría de campos relativista y proporciona la base de la formulación de la integral de trayectoria de Feynman de la mecánica cuántica, donde cada trayectoria contribuye ponderada por la acción.
History
Maupertuis propuso un principio de mínima acción en la década de 1740 por razones metafísicas, que Euler y Lagrange fundamentaron matemáticamente a través del cálculo de variaciones. Hamilton lo reformuló en la década de 1830 en el principio moderno de acción estacionaria en el tiempo, que se convirtió en el punto de partida unificador tanto para la mecánica Lagrangiana como para la Hamiltoniana.
Key figures
- Pierre Louis Maupertuis
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
Related topics
Seminal works
- lanczos1970
- goldstein2002
Frequently asked questions
- ¿Se minimiza realmente la acción?
- A menudo, pero no siempre. La condición definitoria es que la acción sea estacionaria, lo que significa que su primera variación se anula; para trayectorias suficientemente largas, el punto estacionario puede ser un punto de silla en lugar de un mínimo.
- ¿Cómo se relaciona el principio con la mecánica cuántica?
- En la integral de trayectoria de Feynman, una amplitud cuántica suma las contribuciones de todas las trayectorias ponderadas por la exponencial de la acción; la trayectoria clásica de mínima acción emerge donde las contribuciones cercanas se suman constructivamente.