Ecuación de Euler-Lagrange

La ecuación de Euler-Lagrange es la ecuación diferencial que debe satisfacer cualquier función que extremice un funcional integral, siendo la condición necesaria central del cálculo de variaciones.

Definition

Para un funcional dado por una integral de un lagrangiano que depende de una función y su derivada, la ecuación de Euler-Lagrange establece que la derivada parcial del lagrangiano con respecto a la función es igual a la derivada con respecto a la variable independiente de su derivada parcial con respecto a la derivada de la función.

Scope

Este tema cubre la primera variación de un funcional y su condición de anulación, la derivación de la ecuación de Euler-Lagrange, el lema fundamental del cálculo de variaciones, las condiciones de contorno naturales y esenciales, las primeras integrales como la identidad de Beltrami, y las generalizaciones a varias funciones, derivadas de orden superior e integrales múltiples.

Core questions

• ¿Qué ecuación debe satisfacer un extremal de un funcional?
• ¿Cómo se deriva la condición de la primera variación?
• ¿Qué condiciones de contorno acompañan a la ecuación?
• ¿Cuándo simplifican las primeras integrales la ecuación resultante?

Key theories

Primera variación y estacionariedad

Igualar a cero la primera variación de un funcional para todas las perturbaciones admisibles, junto con el lema fundamental del cálculo de variaciones, produce la ecuación de Euler-Lagrange.

Condiciones de contorno naturales

Cuando los puntos finales son libres en lugar de fijos, la anulación de la primera variación impone condiciones de contorno naturales adicionales sobre el extremal más allá de la propia ecuación diferencial.

Primeras integrales y la identidad de Beltrami

Cuando el lagrangiano no depende explícitamente de la variable independiente, una cantidad conservada, la identidad de Beltrami, reduce la ecuación de segundo orden a una de primer orden.

Clinical relevance

La ecuación de Euler-Lagrange convierte los principios variacionales en ecuaciones diferenciales resolubles, produciendo las ecuaciones de movimiento en la mecánica lagrangiana, las ecuaciones geodésicas en geometría y las ecuaciones gobernantes de la elasticidad, la óptica y la teoría de campos.

History

Euler derivó la ecuación geométricamente en 1744, y Lagrange reformuló la derivación a través de su método algebraico de variaciones alrededor de 1755, dando a la ecuación su forma y nombre modernos. Noether conectó posteriormente las simetrías del lagrangiano con las cantidades conservadas a través de la ecuación.

Key figures

• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• Emmy Noether
• Eugenio Beltrami

Seminal works

• gelfand1963
• courant1953

Frequently asked questions

¿Por qué la ecuación de Euler-Lagrange es solo una condición necesaria?

Identifica funciones donde el funcional es estacionario, el análogo de un punto crítico, pero dicho punto puede ser un mínimo, un máximo o ninguno. Determinar cuál requiere examinar la segunda variación o aplicar argumentos de convexidad o de método directo.

¿Qué es una condición de contorno natural?

Cuando los puntos finales de las funciones en competencia no están fijos, exigir que la primera variación se anule fuerza una condición extra en esos puntos finales, derivada de los términos de contorno. Estas condiciones de contorno naturales surgen automáticamente del principio variacional en lugar de ser impuestas.