Ecuaciones de Hamilton y espacio de fases

Las ecuaciones de Hamilton son un par de ecuaciones de primer orden que describen la evolución temporal de las coordenadas y los momentos conjugados como derivadas del hamiltoniano, describiendo el movimiento como un flujo en el espacio de fases.

Definition

Las ecuaciones de Hamilton son las dos ecuaciones diferenciales de primer orden, una que da la tasa de cambio de cada coordenada y la otra de cada momento conjugado como derivadas parciales del hamiltoniano, que determinan la trayectoria de un sistema a través del espacio de fases.

Scope

Este tema cubre la transformación de Legendre que define el hamiltoniano a partir del lagrangiano, las ecuaciones canónicas resultantes para cada par coordenada-momento, la estructura del espacio de fases y las trayectorias dentro de él, y el teorema de Liouville sobre la conservación del volumen del espacio de fases bajo el flujo hamiltoniano.

Core questions

• ¿Cómo se construye el hamiltoniano a partir del lagrangiano mediante una transformación de Legendre?
• ¿Qué representa una trayectoria en el espacio de fases y cómo evoluciona?
• ¿Por qué se conserva el volumen del espacio de fases bajo el flujo hamiltoniano?

Key concepts

• Transformación de Legendre
• Momento conjugado
• Espacio de fases y trayectoria de fase
• Ecuaciones canónicas
• Teorema de Liouville
• Superficie de energía

Key theories

Ecuaciones canónicas de Hamilton

El movimiento se rige por ecuaciones de primer orden en las que la tasa de cambio de cada coordenada es igual a la derivada del momento del hamiltoniano y la tasa de cada momento es igual a menos la derivada de la coordenada.

Teorema de Liouville

El flujo generado por un hamiltoniano conserva el volumen en el espacio de fases, por lo que una región de condiciones iniciales evoluciona sin cambiar su medida en el espacio de fases, un pilar de la mecánica estadística.

Clinical relevance

La imagen del espacio de fases y el teorema de Liouville son la base de la mecánica estadística y los métodos de conjunto, de la dinámica de haces de aceleradores donde el área del espacio de fases es una emitancia conservada, y de los integradores simplécticos numéricos utilizados en simulaciones orbitales y moleculares a largo plazo.

History

Hamilton introdujo las ecuaciones canónicas en sus artículos de 1834-1835 sobre un método general en dinámica, transformando la descripción lagrangiana de segundo orden en una simétrica de primer orden. El teorema de Liouville de 1838 sobre la conservación del volumen y el uso posterior de Gibbs del espacio de fases para conjuntos estadísticos establecieron el punto de vista del espacio de fases como central para la física.

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Joseph Liouville
• Josiah Willard Gibbs

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

¿Qué es el espacio de fases?

El espacio de fases es el espacio cuyas coordenadas son todas las posiciones generalizadas y sus momentos conjugados; un solo punto especifica completamente el estado instantáneo de un sistema, y la historia del sistema es una curva a través de este espacio.

¿Por qué las ecuaciones de Hamilton son de primer orden mientras que las de Lagrange son de segundo orden?

Al tratar los momentos como variables independientes junto con las coordenadas, la formulación hamiltoniana duplica el número de variables pero reduce cada ecuación a primer orden, exponiendo la estructura simétrica del espacio de fases.