Paradojas conjuntistas y teoría de tipos

El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, a la vez se contiene y no se contiene a sí mismo; la paradoja de Russell derribó la teoría ingenua de conjuntos y reconfiguró los fundamentos de la lógica.

Definition

Las paradojas conjuntistas son contradicciones derivables en la teoría ingenua de conjuntos a partir del principio de comprensión irrestricta de que toda condición define un conjunto; la teoría de tipos las bloquea ordenando las entidades en una jerarquía de tipos y prohibiendo que un conjunto se pertenezca a sí mismo.

Scope

Este tema abarca las paradojas lógicas y conjuntistas y las respuestas fundacionales que provocaron. Trata la paradoja de Russell del conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos, la paradoja de Burali-Forti del mayor ordinal y la paradoja de Cantor del conjunto universal; el diagnóstico de Russell a través del principio del círculo vicioso y la teoría ramificada de tipos resultante en Principia Mathematica; y la respuesta alternativa de la teoría axiomática de conjuntos (Zermelo-Fraenkel) que restringe la comprensión para evitar las paradojas.

Core questions

• ¿Qué suposición en la teoría ingenua de conjuntos genera la paradoja de Russell?
• ¿Evitar las paradojas requiere un principio de círculo vicioso y restricciones de tipo?
• ¿Cómo difieren la teoría de tipos y la teoría axiomática de conjuntos como respuestas?
• ¿Son las paradojas lógicas fundamentalmente las mismas que las semánticas?

Key concepts

• comprensión irrestricta
• paradoja de Russell
• paradojas de Burali-Forti y Cantor
• principio del círculo vicioso
• teoría de tipos
• axioma de separación

Key theories

Teoría de tipos ramificada

Russell bloquea las paradojas con el principio del círculo vicioso y una jerarquía de tipos en la que una entidad solo puede definirse sobre entidades inferiores en la jerarquía, lo que impide la auto-pertenencia y las definiciones autoaplicables.

Comprensión restringida

La teoría axiomática de conjuntos (Zermelo-Fraenkel) abandona la comprensión irrestricta por la separación y el reemplazo, de modo que no se puede formar ningún conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos, disolviendo la paradoja de Russell sin una jerarquía de tipos.

History

Russell descubrió su paradoja en 1901 mientras estudiaba el logicismo de Frege, socavando la Ley Básica V de Frege. La teoría de tipos de Russell de 1908 y los Principia Mathematica de 1910 ofrecieron una solución; la axiomatización de Zermelo de 1908, posteriormente ampliada por Fraenkel, ofreció otra, y ambos enfoques sustentan los fundamentos modernos y la teoría de tipos simple utilizada en lógica y ciencias de la computación.

Debates

Teoría de tipos vs. teoría axiomática de conjuntos

Si las paradojas se evitan mejor mediante una jerarquía de tipos basada en el principio del círculo vicioso o restringiendo los axiomas de existencia de conjuntos, y qué implica cada enfoque sobre la naturaleza de los conjuntos, las clases y las definiciones predicativas versus impredicativas.

Key figures

• Bertrand Russell
• Alfred North Whitehead
• Gottlob Frege
• Ernst Zermelo
• Cesare Burali-Forti

Seminal works

• russell1908
• whiteheadrussell1910

Frequently asked questions

¿Qué es la paradoja de Russell en términos sencillos?

Considérese el conjunto R de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Pregúntese si R es miembro de sí mismo. Si lo es, entonces por su propia definición no debería serlo; si no lo es, entonces califica y debería serlo. Cualquiera de las respuestas contradice a la otra, lo que demuestra que la suposición de la teoría ingenua de conjuntos de que cualquier propiedad define un conjunto debe ser incorrecta.