Lógica Proposicional y de Primer Orden
La lógica proposicional y de primer orden son los sistemas formales fundamentales de la lógica clásica, lo suficientemente expresivos como para regimentar la mayoría del razonamiento ordinario y matemático.
Definition
La lógica proposicional estudia la inferencia entre oraciones completas combinadas por conectivas veritativo-funcionales; la lógica de primer orden la extiende con cuantificadores que abarcan un dominio de individuos y con predicados y relaciones, manteniendo la cuantificación restringida a individuos en lugar de propiedades.
Scope
Este tema cubre la sintaxis, la semántica y la teoría de la prueba del cálculo proposicional clásico (conectivas veritativo-funcionales) y la lógica de predicados de primer orden (cuantificadores, variables y relaciones). Incluye los resultados metateóricos centrales —los teoremas de solidez, completitud, compacidad y Lowenheim-Skolem— y la significación filosófica de la posición de la lógica de primer orden como el marco canónico para regimentar argumentos y para los fundamentos de las matemáticas.
Core questions
- ¿Cuál es el alcance expresivo de la lógica de primer orden y qué no se puede expresar en ella?
- ¿Por qué la lógica de primer orden se considera a menudo la lógica privilegiada para la regimentación?
- ¿Qué nos dicen la completitud y la compacidad sobre la relación entre sintaxis y semántica?
- ¿Cuáles son los costos y beneficios filosóficos de pasar a un segundo orden?
Key concepts
- conectivas veritativo-funcionales
- cuantificadores y variables
- satisfacción y modelos
- completitud y compacidad
- teoremas de Lowenheim-Skolem
- lógica de primer orden vs. de segundo orden
Key theories
- Completitud de la lógica de primer orden
- El teorema de completitud de Godel establece que toda consecuencia semántica de primer orden es demostrable en un sistema deductivo estándar, por lo que la derivabilidad y la validez modeloteórica coinciden para la lógica de primer orden.
- Ortodoxia de primer orden
- Quine defiende la restricción de la lógica canónica al primer orden, basándose en que es completa, ontológicamente perspicua y libre de los compromisos conjuntistas y la incompletitud de la lógica de segundo orden.
History
La Begriffsschrift de Frege de 1879 introdujo la notación de cuantificador-variable y el primer sistema de lógica de predicados, anticipado independientemente por Peirce. La metateoría se estableció a principios del siglo XX con el teorema de completitud de Godel (1929) y los resultados de compacidad y Lowenheim-Skolem, después de lo cual Quine y otros promovieron la lógica de primer orden como el marco lógico canónico.
Debates
- ¿Es la lógica de primer orden la lógica canónica correcta?
- Si la lógica debe limitarse al primer orden, dada su completitud y claridad ontológica, o extenderse a la lógica de segundo orden para una mayor potencia expresiva a costa de la completitud y compromisos matemáticos más pesados.
Key figures
- Gottlob Frege
- Kurt Godel
- W. V. O. Quine
- Charles Sanders Peirce
- Herbert Enderton
Related topics
Seminal works
- frege1879
- quine1986
Frequently asked questions
- ¿Cuál es la diferencia entre la lógica de primer orden y la de segundo orden?
- La lógica de primer orden cuantifica solo sobre objetos individuales en un dominio. La lógica de segundo orden también permite la cuantificación sobre propiedades, relaciones y funciones de esos objetos. La lógica de segundo orden es mucho más expresiva, pero carece de un sistema de prueba completo y conlleva compromisos matemáticos más fuertes, razón por la cual muchos filósofos tratan la lógica de primer orden como canónica.