Los teoremas de Gödel y su filosofía

Al codificar la autorreferencia en la aritmética, Gödel demostró que cualquier sistema formal consistente lo suficientemente rico para la aritmética contiene oraciones verdaderas que no puede probar.

Definition

El primer teorema de incompletitud de Gödel establece que cualquier sistema formal consistente, efectivamente axiomatizado y capaz de expresar aritmética elemental contiene una oración verdadera que no puede probar ni refutar; el segundo establece que ningún sistema de este tipo puede probar su propia consistencia.

Scope

Este tema cubre los teoremas de incompletitud de Gödel y su interpretación filosófica. Trata la técnica de aritmetización (numeración de Gödel) y el lema diagonal que construye una oración autorreferencial 'no soy demostrable'; el primer teorema (dichos sistemas son incompletos) y el segundo (no pueden probar su propia consistencia); y los controvertidos usos filosóficos de los teoremas —afirmaciones sobre los límites del formalismo y el programa de Hilbert, y los argumentos de Lucas-Penrose de que la mente humana excede cualquier algoritmo.

Core questions

• ¿Cómo permite la numeración de Gödel que la aritmética hable de sus propias pruebas?
• ¿Qué establecen exactamente los teoremas de incompletitud y para qué sistemas?
• ¿Qué significaron los teoremas para el programa de Hilbert y el logicismo?
• ¿Demuestran los teoremas que las mentes superan a las máquinas?

Key concepts

• Numeración de Gödel (aritmetización)
• El lema diagonal
• La oración de Gödel
• Primer y segundo teoremas de incompletitud
• Programa de Hilbert
• Consistencia y omega-consistencia

Key theories

Incompletitud por diagonalización

Gödel aritmetiza la sintaxis para que una fórmula pueda expresar su propia indemostrabilidad; la oración resultante es verdadera (si el sistema es consistente) pero indemostrable, estableciendo la incompletitud, y el segundo teorema muestra que la consistencia misma es indemostrable dentro del sistema.

El argumento de Lucas-Penrose

Lucas argumenta a partir del teorema de Gödel que, debido a que un humano puede ver la verdad de la oración de Gödel de cualquier máquina consistente que modele la mente, la mente no puede ser tal máquina; el argumento es ampliamente cuestionado.

History

Gödel demostró los teoremas de incompletitud en 1931, limitando decisivamente el programa de Hilbert de probar que las matemáticas son completas y consistentes por medios finitos. Los resultados repercutieron en la filosofía de las matemáticas y la mente, con Lucas (1961) y más tarde Penrose extrayendo conclusiones antimencanistas que provocaron una extensa literatura crítica.

Debates

¿Refutan los teoremas el mecanicismo sobre la mente?

Si el argumento de Lucas-Penrose infiere válidamente de la incompletitud que la perspicacia matemática humana trasciende cualquier algoritmo, o si se excede al asumir que siempre podemos conocer nuestra propia consistencia y reconocer la oración de Gödel relevante.

Key figures

• Kurt Godel
• David Hilbert
• J. R. Lucas
• Roger Penrose
• Peter Smith

Seminal works

• godel1931
• smith2013

Frequently asked questions

¿Significa el teorema de Gödel que las matemáticas están rotas?

No. Significa que ningún sistema formal consistente puede probar todas las verdades aritméticas, y ninguno puede certificar su propia consistencia desde dentro. Las matemáticas funcionan perfectamente bien; los teoremas, en cambio, establecen un límite de principios sobre lo que cualquier sistema axiomático fijo puede lograr, refutando la esperanza de una base completa y autocertificable.