Sistemas modales y sus axiomas

Diferentes axiomas modales codifican distintas concepciones de la necesidad, y cada uno corresponde a una condición estructural en la relación de accesibilidad.

Definition

Un sistema modal normal es un conjunto de teoremas cerrados bajo las reglas de la lógica clásica más el axioma de distribución K y la regla de necesitación, obteniéndose sistemas más fuertes al añadir axiomas característicos que corresponden a propiedades de la relación de accesibilidad.

Scope

Este tema abarca la jerarquía estándar de los sistemas modales normales construidos sobre el sistema base K añadiendo axiomas como T (reflexividad), 4 (transitividad), B (simetría) y 5 (euclideanidad), lo que da lugar a sistemas como T, S4 y S5. Trata la teoría de la correspondencia —la coincidencia sistemática entre los axiomas modales y las condiciones de los marcos— junto con la solidez, la completitud y la cuestión de qué sistema capta mejor la necesidad metafísica, lógica o epistémica.

Core questions

• ¿Qué axiomas deberían regir un determinado tipo de necesidad?
• ¿Cómo se corresponden los axiomas modales con las condiciones de la relación de accesibilidad?
• ¿Es S5 la lógica correcta de la necesidad metafísica, o es más apropiado un sistema más débil?
• ¿Qué establecen los resultados de solidez y completitud para estos sistemas?

Key concepts

• sistema K y necesitación
• axiomas T, 4, B, 5
• marcos reflexivos, transitivos, simétricos, euclidianos
• teoría de la correspondencia
• S4 y S5
• completitud mediante modelos canónicos

Key theories

Teoría de la correspondencia

Cada axioma modal característico corresponde a una propiedad de la relación de accesibilidad —T a la reflexividad, 4 a la transitividad, B a la simetría, 5 a la euclideanidad— de modo que un sistema es sólido y completo con respecto a la clase de marcos que cumplen esas condiciones.

Implicación estricta y los sistemas de Lewis

C. I. Lewis introdujo los sistemas S1-S5 para formalizar la implicación estricta y evitar las paradojas de la implicación material, sentando las bases del estudio axiomático moderno de la modalidad.

History

La obra "Symbolic Logic" de Lewis y Langford de 1932 introdujo los sistemas S1-S5 axiomáticamente. Después de la semántica relacional de Kripke, la teoría de la correspondencia reveló el vínculo sistemático entre los axiomas y las condiciones de los marcos, y la completitud se estableció mediante construcciones de modelos canónicos, codificadas en libros de texto como los de Hughes y Cresswell.

Debates

¿Qué sistema capta la necesidad metafísica?

Si la lógica de la necesidad metafísica es el sistema fuerte S5, en el que lo posible es no contingentemente posible, o un sistema más débil que permite que el propio espacio de posibilidades varíe entre mundos.

Key figures

• C. I. Lewis
• Saul Kripke
• G. E. Hughes
• M. J. Cresswell
• Johan van Benthem

Seminal works

• lewislangford1932
• hughescresswell1996

Frequently asked questions

¿Cuál es la diferencia entre S4 y S5?

S4 añade el axioma de que lo necesario es necesariamente necesario (accesibilidad transitiva). S5 añade además que lo posible es necesariamente posible (la relación de accesibilidad se convierte en una relación de equivalencia). En S5, el estatus modal de cualquier enunciado es en sí mismo no contingente, lo que muchos consideran que se ajusta a la necesidad metafísica.