Rangbasierte Methoden

Rangbasierte Methoden ersetzen die Daten durch ihre Ordnung und erzeugen Tests, deren Nullverhalten für jede kontinuierliche Verteilung gilt und die Ausreißern widerstehen.

Definition

Rangbasierte Methoden sind statistische Verfahren, die nur die Ränge der Beobachtungen anstelle ihrer numerischen Werte verwenden, wodurch verteilungsfreie Tests entstehen, die für jede kontinuierliche datengenerierende Verteilung gültig sind.

Scope

Dieses Thema behandelt den Zeichentest, den Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test für gepaarte Daten, den Wilcoxon-Rangsummen-Test und den äquivalenten Mann-Whitney-Test für zwei Stichproben, den Kruskal-Wallis-Test für mehrere Stichproben, die Spearman- und Kendall-Rangkorrelationen, die allgemeine Theorie der linearen Rangstatistiken und ihre asymptotische Normalität sowie die asymptotische relative Effizienz von Rangtests im Vergleich zu ihren normaltheoretischen Gegenstücken.

Core questions

• Warum ist die Nullverteilung einer Rangstatistik unabhängig von der zugrunde liegenden kontinuierlichen Verteilung?
• Wie vergleichen die Wilcoxon- und Kruskal-Wallis-Tests Orte ohne Normalität?
• Was ist asymptotische relative Effizienz, und wie vergleichen sich Rangtests mit den t- und F-Tests?
• Wie werden Rangkorrelationen zur Messung monotoner Assoziation verwendet?

Key theories

Verteilungsfreie Rangtests

Da Ränge unter monotonen Transformationen invariant sind, hängt die Nullverteilung einer Rangstatistik nur von den Stichprobengrößen ab, was exakte verteilungsfreie Tests für Lage und Assoziation ermöglicht.

Asymptotische relative Effizienz

Rangtests verlieren unter Normalität wenig Effizienz und können bei schwerfälligen Daten weitaus effizienter sein; der Wilcoxon-Test beispielsweise fällt im Normalmodell nie unter etwa 86 Prozent Effizienz im Vergleich zum t-Test.

Clinical relevance

Rangtests sind die Standardmethode für Ordinalskalen, kleine Stichproben und schiefe oder ausreißeranfällige Daten in der klinischen, psychologischen und ökologischen Forschung, wo ihre Gültigkeit ohne Normalitätsannahme sie sicherer macht als die t- und F-Tests.

History

Wilcoxon schlug 1945 die Vorzeichen-Rang- und Rangsummen-Tests vor, Mann und Whitney lieferten 1947 den äquivalenten Zwei-Stichproben-Test, und Kruskal und Wallis erweiterten ihn 1952 auf mehrere Gruppen, womit der Kern der verteilungsfreien Tests etabliert wurde.

Key figures

• Frank Wilcoxon
• Henry Mann
• Donald Whitney
• Maurice Kendall

Seminal works

• hollander2013

Frequently asked questions

Wann sollte ein Rangtest anstelle eines t-Tests verwendet werden?

Wenn die Daten ordinal sind, die Stichprobe klein ist oder die Verteilung schief ist oder Ausreißer aufweist, da Rangtests ohne Normalität gültig bleiben und robuster sind, bei geringen Effizienzverlusten, wenn die Normalität tatsächlich gegeben ist.

Ist der Mann-Whitney-Test dasselbe wie der Wilcoxon-Rangsummen-Test?

Ja. Es handelt sich um algebraisch äquivalente Zwei-Stichproben-Verfahren, die unabhängig voneinander abgeleitet wurden; beide vergleichen die Lagen zweier Verteilungen unter Verwendung der Ränge der zusammengefassten Daten.