Gleichmäßig beste Tests

Ein gleichmäßig bester Test ist gleichzeitig gegenüber jeder Alternative am mächtigsten; solche Tests existieren für einseitige Probleme mit monotonem Likelihood-Verhältnis und werden ansonsten innerhalb eingeschränkter Klassen gesucht.

Definition

Ein Test ist bei einer gegebenen Größe gleichmäßig am mächtigsten, wenn er unter allen Tests dieser Größe gleichzeitig die größte Power gegenüber jeder Verteilung in der Alternativhypothese aufweist.

Scope

Dieses Thema behandelt zusammengesetzte Hypothesen, die Eigenschaft des monotonen Likelihood-Verhältnisses und die Familien, die diese besitzen, die Existenz gleichmäßig bester Tests für einseitige Alternativen, die Nichtexistenz solcher Tests für zweiseitige Alternativen und die Beschränkung auf unverzerrte oder invariante Tests, die die Optimalität wiederherstellt, einschließlich gleichmäßig bester unverzerrter Tests in Exponentialfamilien.

Core questions

• Was ist die Eigenschaft des monotonen Likelihood-Verhältnisses, und welche Familien besitzen sie?
• Warum existieren gleichmäßig beste Tests für einseitige, aber nicht für zweiseitige Alternativen?
• Wie stellt die Beschränkung auf unverzerrte Tests einen optimalen zweiseitigen Test wieder her?
• Wie reduziert Invarianz ein Problem, sodass ein gleichmäßig bester Test existiert?

Key theories

Monotones Likelihood-Verhältnis und einseitige Tests

Wenn das Likelihood-Verhältnis in einer Statistik monoton ist, ist der Test, der für große Werte dieser Statistik ablehnt, gleichmäßig am mächtigsten für die entsprechende einseitige Alternative, wodurch das Neyman-Pearson-Lemma auf eine zusammengesetzte Alternative erweitert wird.

Gleichmäßig beste unverzerrte Tests

Für zweiseitige Alternativen existiert kein gleichmäßig bester Test, aber innerhalb der Klasse der unverzerrten Tests existiert ein optimaler Test, und in Exponentialfamilien nimmt er eine explizite zweiseitige Form an.

Clinical relevance

Standardmäßige einseitige z- und t-Tests, die in Studien und der Qualitätskontrolle verwendet werden, sind für ihre Probleme gleichmäßig am mächtigsten, sodass die Theorie erklärt, warum diese bekannten Verfahren nicht nur konventionell, sondern unter größenkontrollierten Tests optimal sind.

History

Aufbauend auf dem Neyman-Pearson-Lemma von 1933 systematisierte Lehmann gleichmäßig beste, unverzerrte und invariante Tests in seiner Monographie „Testing Statistical Hypotheses“ von 1959, die später mit Romano überarbeitet wurde und weiterhin die Standardreferenz darstellt.

Key figures

• Erich L. Lehmann
• Jerzy Neyman
• Egon Pearson
• Joseph P. Romano

Seminal works

• lehmannRomano2005

Frequently asked questions

Warum existiert kein gleichmäßig bester Test für zweiseitige Alternativen?

Weil der mächtigste Test gegen eine Alternative auf der einen Seite sich von dem gegen die andere Seite unterscheidet, sodass kein einzelner Test gleichzeitig gegen beide am mächtigsten sein kann; die Beschränkung auf unverzerrte Tests löst den Konflikt.

Welchen Vorteil bietet die Eigenschaft des monotonen Likelihood-Verhältnisses?

Sie garantiert, dass ein einfacher einseitiger Test, der auf einer einzelnen Statistik basiert, gleichmäßig am mächtigsten ist, sodass die Optimalität für die gesamte einseitige Alternative folgt, ohne jede Alternative separat prüfen zu müssen.