Störungstheorie und Näherungsmethoden
Die meisten quantenmechanischen Probleme lassen sich nicht exakt lösen, daher sind Näherungsmethoden unerlässlich; die Störungstheorie behandelt ein System als ein lösbares System plus eine kleine Korrektur, während die Variations- und WKB-Methoden Energien und Wellenfunktionen in anderen Regimen eingrenzen oder abschätzen.
Definition
Näherungsmethoden in der Quantenmechanik sind systematische Techniken zur Abschätzung von Energien, Zuständen und Übergangsraten, wenn die Schrödinger-Gleichung nicht exakt gelöst werden kann, wobei die wichtigsten die Störungstheorie, die Variationsmethode und die semiklassische WKB-Näherung sind.
Scope
Dieser Bereich umfasst die zeitunabhängige Störungstheorie für Energie- und Zustands-Korrekturen einschließlich entarteter Fälle, die zeitabhängige Störungstheorie und Fermis Goldene Regel für Übergangsraten, das Variationsprinzip, das Grundzustandsenergien nach oben begrenzt, und die semiklassische WKB-Näherung für langsam variierende Potenziale und Tunneln.
Sub-topics
Core questions
- Wie werden Energieniveaus und Zustände korrigiert, wenn eine kleine Störung hinzugefügt wird?
- Wie werden Übergangsraten zwischen Zuständen unter einem zeitabhängigen Einfluss berechnet?
- Wie kann die Grundzustandsenergie begrenzt werden, ohne die Gleichung exakt zu lösen?
- Wann liefert eine semiklassische Näherung genaue Ergebnisse?
Key concepts
- Störungsentwicklung
- entartete Störungstheorie
- Fermis Goldene Regel
- Variationsprinzip
- Testwellenfunktion
- WKB-Näherung
Key theories
- Störungstheorie
- Die Entwicklung von Energien und Zuständen in Potenzen einer kleinen Störung liefert Korrekturen Ordnung für Ordnung, wobei die führende Energieverschiebung dem Erwartungswert der Störung entspricht, und ihre zeitabhängige Form ergibt Fermis Goldene Regel für Übergangsraten zwischen Zuständen.
- Variations- und WKB-Methoden
- Das Variationsprinzip garantiert, dass der Erwartungswert des Hamilton-Operators in jedem Testzustand eine obere Grenze für die Grundzustandsenergie darstellt, während die WKB-Näherung Wellenfunktionen aus einer langsam variierenden lokalen Wellenlänge konstruiert, die genau ist, wenn sich das Potenzial über eine Wellenlänge kaum ändert.
Clinical relevance
Diese Methoden machen die Quantenmechanik auf reale Systeme anwendbar: Die Störungstheorie sagt die Stark- und Zeeman-Aufspaltungen sowie atomare Übergangsraten voraus, die Variationsmethode liefert genaue Grundzustandsenergien in der Quantenchemie, und WKB erklärt Tunnelraten und Quantisierungsbedingungen in der Atom-, Kern- und Festkörperphysik.
History
Rayleigh und Schrödinger entwickelten die zeitunabhängige Störungstheorie in den 1920er Jahren; Dirac formulierte die zeitabhängige Störungstheorie und Fermi popularisierte die Goldene Regel für Übergangsraten, während die WKB-Methode 1926 unabhängig voneinander von Wentzel, Kramers und Brillouin eingeführt wurde.
Key figures
- Erwin Schrodinger
- Paul Dirac
- Enrico Fermi
- Lord Rayleigh
Related topics
Seminal works
- sakurai2017
- landau1977
Frequently asked questions
- Wann versagt die Störungstheorie?
- Sie versagt, wenn die Störung im Vergleich zum Energieabstand nicht klein ist, wenn Niveaus nahezu entartet sind, sodass Nenner divergieren, oder wenn die Reihe nicht konvergiert; in solchen Fällen sind stattdessen Variations-, semiklassische oder numerische Methoden erforderlich.
- Warum überschätzt die Variationsmethode immer die Grundzustandsenergie?
- Jeder Testzustand ist eine Mischung der wahren Eigenzustände, und da alle Energien der angeregten Zustände über dem Grundzustand liegen, ist der Erwartungswert des Hamilton-Operators ein gewichteter Durchschnitt, der niemals unter den niedrigsten Eigenwert fallen kann.