WKB-Näherung
Die WKB-Näherung ist eine semiklassische Methode zur Lösung der Schrödinger-Gleichung, wenn das Potenzial langsam variiert; sie konstruiert die Wellenfunktion aus einer lokal definierten Wellenlänge und liefert die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung sowie exponentielle Tunnelabschätzungen.
Definition
Die WKB-Näherung ist eine semiklassische Technik zur Annäherung von Lösungen der Schrödinger-Gleichung, wenn sich das Potenzial über eine de Broglie-Wellenlänge hinweg kaum ändert, wobei die Wellenfunktion als Exponentialfunktion einer langsam variierenden Phase dargestellt wird, deren führender Term die klassische Wirkung ist.
Scope
Das Thema umfasst die semiklassische Entwicklung der Wellenfunktion in Potenzen des Wirkungsquantums, die lokale Wellenlänge und Amplitude in klassisch erlaubten Bereichen, exponentielles Wachstum und Abfall in verbotenen Bereichen, die Anschlussformeln, die Lösungen über Wendepunkte hinweg verbinden, die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung für gebundene Zustände und die exponentielle WKB-Abschätzung für Tunnelwahrscheinlichkeiten.
Core questions
- Wann ist ein Potenzial langsam genug variierend, damit die WKB-Näherung gültig ist?
- Wie verhält sich die Wellenfunktion in klassisch erlaubten versus verbotenen Bereichen?
- Welche Anschlussformeln verbinden die Lösungen über klassische Wendepunkte hinweg?
- Wie reproduziert die WKB die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung und Tunnelraten?
Key concepts
- semiklassische Entwicklung
- lokale Wellenlänge
- Wendepunkte
- Anschlussformeln
- Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
- Tunnelexponent
Key theories
- Semiklassische Wellenfunktion
- In einem langsam variierenden Potenzial oszilliert die Wellenfunktion mit einer lokalen Wellenlänge, die durch den klassischen Impuls bestimmt wird, und einer Amplitude, die dort zunimmt, wo sich das Teilchen langsam bewegt, während sie in verbotenen Bereichen exponentiell wächst oder abfällt, die Form, die sowohl der Quantisierung als auch dem Tunneln zugrunde liegt.
- Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
- Die Forderung, dass die zwischen den Wendepunkten akkumulierte WKB-Phase ein halbzahliges Vielfaches des Wirkungsquantums ist, reproduziert die alte Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung und liefert genaue Energieniveaus für glatte Potenziale und große Quantenzahlen.
Clinical relevance
Die WKB-Methode liefert schnelle, physikalisch transparente Abschätzungen in der gesamten Physik: Sie liefert die Lebensdauern des nuklearen Alpha-Zerfalls durch ihren Tunnelexponenten, Feldemissions- und Rastertunnelströme, Schwingungsniveaus von Molekülen und die semiklassische Quantisierung, die klassische und quantenmechanische Beschreibungen verbindet.
History
Wentzel, Kramers und Brillouin führten die Näherung 1926 jeweils ein, aufbauend auf einer früheren mathematischen Behandlung durch Jeffreys; sie verband die neue Wellenmechanik mit der älteren Bohr-Sommerfeld-Quantisierung und wurde bald von Gamow auf das Tunneln beim Alpha-Zerfall angewendet.
Key figures
- Gregor Wentzel
- Hendrik Kramers
- Leon Brillouin
- Harold Jeffreys
Related topics
Seminal works
- landau1977
- griffiths2018
Frequently asked questions
- Wann ist die WKB-Näherung genau?
- Sie ist genau, wenn sich das Potenzial über eine de Broglie-Wellenlänge hinweg kaum ändert, was typischerweise hohe Energien oder große Quantenzahlen bedeutet; sie wird in der Nähe klassischer Wendepunkte unzuverlässig, wo Anschlussformeln verwendet werden müssen, um die Lösungen zusammenzufügen.
- Wie beschreibt WKB das Tunneln?
- Im klassisch verbotenen Bereich zerfällt die WKB-Wellenfunktion exponentiell, und die Tunnelwahrscheinlichkeit ist annähernd das Exponential von minus dem Doppelten des Integrals der Zerfallsrate über die Barriere, die Standard-Semiklassische Abschätzung, die für Zerfalls- und Emissionsraten verwendet wird.