Integrale Erweiterung

Eine integrale Erweiterung ist eine Ringerweiterung, bei der jedes Element ein normiertes Polynom über dem Unterring erfüllt, was algebraische Körpererweiterungen verallgemeinert und die Beziehung von Primidealen zwischen den Ringen steuert.

Definition

Ein Element einer Ringerweiterung ist integral über einem Unterring, wenn es eine Wurzel eines normierten Polynoms mit Koeffizienten im Unterring ist; die Erweiterung ist integral, wenn jedes Element integral ist, und der integrale Abschluss ist die Menge aller solcher Elemente.

Scope

Dieses Thema behandelt integrale Elemente und integrale Abhängigkeit, den integralen Abschluss eines Rings in einer Erweiterung und normale Ringe, die Sätze vom Liegen, Hochsteigen und Tiefsteigen sowie die Noether-Normalisierung, die strukturellen Ergebnisse, die die Dimensionstheorie begründen.

Core questions

• Was bedeutet es für ein Ringelement, integral über einem Unterring zu sein?
• Was ist der integrale Abschluss, und wann ist ein Ring normal?
• Wie heben und senken sich Primideale entlang einer integralen Erweiterung?
• Wie stellt die Noether-Normalisierung eine Algebra als endliche Erweiterung eines Polynomrings dar?

Key theories

Integraler Abschluss und Normalität

Die über einem Unterring integralen Elemente bilden einen Unterring, den integralen Abschluss, und ein Integritätsbereich, der gleich seinem eigenen integralen Abschluss in seinem Quotientenkörper ist, wird als ganz abgeschlossen oder normal bezeichnet, eine wichtige Regularitätsbedingung.

Sätze vom Liegen und Hochsteigen

Für eine integrale Erweiterung ist jedes Primideal des Unterrings die Kontraktion eines Primideals der Erweiterung (Liegen), und Ketten von Primidealen heben sich kompatibel (Hochsteigen), sodass die Primidealspektren der beiden Ringe eng miteinander verbunden sind.

Noether-Normalisierung

Jede endlich erzeugte Algebra über einem Körper ist ein endlicher, also integraler, Modul über einem Polynom-Unterring in algebraisch unabhängigen Elementen, das algebraische Herz der Dimensionstheorie und der Geometrie affiner Varietäten.

Clinical relevance

Integrale Erweiterungen sind zentral in der algebraischen Zahlentheorie, wo der Ring der ganzen Zahlen eines Zahlkörpers der integrale Abschluss der ganzen Zahlen ist, und in der algebraischen Geometrie, wo die Noether-Normalisierung und der Hochsteigsatz die Dimensionstheorie und das Verhalten endlicher Morphismen zwischen Varietäten untermauern.

History

Integrale Abhängigkeit abstrahiert die algebraischen ganzen Zahlen der Zahlentheorie, die von Dedekind untersucht wurden. Emmy Noethers Normalisierungslemma und Krulls Arbeiten in den 1920er und 1930er Jahren machten integrale Erweiterungen zur Grundlage der Dimensionstheorie, die später von Zariski und Grothendieck geometrisch interpretiert wurde.

Key figures

• Emmy Noether
• Wolfgang Krull
• David Hilbert
• Oscar Zariski

Seminal works

• atiyah1969
• eisenbud1995
• matsumura1989

Frequently asked questions

Wie verallgemeinert eine integrale Erweiterung eine algebraische Körpererweiterung?

Über einem Körper bedeuten integral und algebraisch dasselbe, da normierte und beliebige nicht-null-Polynome sich nur durch eine Einheit unterscheiden. Über einem allgemeinen Ring ist die normierte Bedingung wesentlich, da sie die Elemente erfasst, die sich wie algebraische ganze Zahlen verhalten.

Warum ist die Noether-Normalisierung wichtig?

Sie stellt jede endlich erzeugte Algebra über einem Körper als endliche Erweiterung eines Polynomrings dar, sodass ihre Dimension der Anzahl der Polynomvariablen entspricht. Dies begründet die gesamte Dimensionstheorie affiner Varietäten in einer konkreten Konstruktion.