Zahlkörper und Ganzheitsringe

Ein Zahlkörper ist eine endliche Erweiterung der rationalen Zahlen, und sein Ganzheitsring ist das natürliche arithmetische Analogon der gewöhnlichen ganzen Zahlen – eine Dedekind-Domain, in der Ideale, nicht Elemente, eindeutig faktorisieren.

Definition

Ein Zahlkörper ist eine Körpererweiterung der rationalen Zahlen von endlichem Grad; sein Ganzheitsring besteht aus den Elementen, die Wurzeln normierter Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten sind und eine Dedekind-Domain bilden.

Scope

Dieses Thema behandelt algebraische Zahlen und algebraische ganze Zahlen, Zahlkörper sowie deren Grad und Einbettungen, den Ganzheitsring als den integralen Abschluss der ganzen Zahlen im Körper, Integralbasen und die Körperdiskriminante, die Charakterisierung von Ganzheitsringen als Dedekind-Domains und die eindeutige Faktorisierung von von Null verschiedenen Idealen in Primideale.

Core questions

• Welche Elemente eines Zahlkörpers gelten als ganze Zahlen, und warum bilden sie einen Ring?
• Was ist eine Integralbasis, und wie wird die Diskriminante eines Zahlkörpers definiert und berechnet?
• Welche Eigenschaften machen den Ganzheitsring zu einer Dedekind-Domain?
• Wie ersetzt die eindeutige Faktorisierung von Idealen die eindeutige Faktorisierung von Elementen?

Key theories

Ganzheitsring und integraler Abschluss

Die algebraischen ganzen Zahlen in einem Zahlkörper bilden seinen Ganzheitsring, den integralen Abschluss der ganzen Zahlen im Körper; er ist ein freier Modul vom Rang gleich dem Körpergrad, mit einer Integralbasis.

Dedekind-Domains und Faktorisierung von Idealen

Ganzheitsringe sind noethersch, ganz abgeschlossen und von Dimension eins – das heißt, Dedekind-Domains – und in jeder Dedekind-Domain faktorisiert jedes von Null verschiedene Ideal eindeutig in Primideale.

Diskriminante

Die Diskriminante einer Integralbasis ist eine ganzzahlige Invariante des Körpers, die verzweigte Primzahlen erkennt und den Körper über Minkowskis Schranke und Hermites Endlichkeitssatz einschränkt.

Clinical relevance

Ganzheitsringe und ihre Idealstruktur bilden den Rahmen für den Zahlkörpersieb-Faktorisierungsalgorithmus und für die Ideal-Gitter-Kryptographie, wobei die Arithmetik eines Ganzheitsrings die Quelle sowohl schwieriger Probleme als auch effizienter Operationen ist.

History

Kummer arbeitete in den 1840er Jahren mit Kreisteilungszahlen und idealen Zahlen. Dedekind definierte in Ergänzungen zu Dirichlets Vorlesungen aus den 1870er Jahren den Ganzheitsring und den modernen Begriff eines Ideals, bewies die eindeutige Faktorisierung von Idealen und begründete die abstrakte Theorie.

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Ernst Kummer

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

Ist der Ganzheitsring immer ein faktorieller Ring?

Nein. Elemente müssen nicht eindeutig faktorisieren, aber der Ring ist immer eine Dedekind-Domain, sodass Ideale dies tun; der Ring ist genau dann ein faktorieller Ring, wenn seine Klassenzahl eins ist.

Was sagt die Diskriminante aus?

Die Körperdiskriminante ist eine ganzzahlige Invariante, deren Primteiler genau die Primzahlen sind, die im Körper verzweigen, und ihre Größe begrenzt, wie komplex der Körper sein kann.