Galoisgruppe

Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung ist die Gruppe der Körperautomorphismen, die den Basiskörper fixieren, die Symmetrien der Wurzeln eines Polynoms kodieren und die Zwischenkörper indizieren.

Definition

Für eine Körpererweiterung ist die Galoisgruppe die Gruppe der Automorphismen des größeren Körpers, die jedes Element des Basiskörpers fixieren; die Erweiterung wird als Galois-Erweiterung bezeichnet, wenn diese Gruppe so groß ist wie der Grad, was genau bei endlichen normalen und separablen Erweiterungen der Fall ist.

Scope

Dieses Thema behandelt Automorphismen von Körpererweiterungen, die Definition der Galoisgruppe, normale und separable Erweiterungen, den Fundamentalsatz der Galoistheorie und die Berechnung von Galoisgruppen von Polynomen sowie deren Interpretation als Permutationsgruppen von Wurzeln.

Core questions

• Welche Symmetrien besitzt eine Körpererweiterung?
• Wann ist eine Erweiterung Galois, und wie groß ist ihre Automorphismengruppe?
• Wie korrespondiert die Galoisgruppe mit Zwischenkörpern?
• Wie wird die Galoisgruppe eines Polynoms als Permutationsgruppe ihrer Wurzeln realisiert?

Key theories

Fundamentalsatz der Galoistheorie

Für eine endliche Galois-Erweiterung existiert eine inklusionsumkehrende Bijektion zwischen Zwischenkörpern und Untergruppen der Galoisgruppe, wobei der Grad einer Teilerweiterung dem Index der entsprechenden Untergruppe entspricht.

Galoisgruppe als Permutationen von Wurzeln

Die Galoisgruppe eines separablen Polynoms operiert treu auf seinen Wurzeln und bettet sie als Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf diesen Wurzeln ein, was die Gruppe einschränkt und bei ihrer Berechnung hilft.

Artinscher Satz über Fixkörper

Wenn eine endliche Gruppe von Automorphismen auf einem Körper operiert, ist der gesamte Körper eine Galois-Erweiterung des fixierten Unterkörpers mit dieser Gruppe als Galoisgruppe, was eine Umkehrung der Konstruktion von Galoisgruppen darstellt.

Clinical relevance

Die Galoisgruppe transformiert Fragen über Körpererweiterungen und Polynomgleichungen in die Gruppentheorie; ihre Lösbarkeit entscheidet über die Lösbarkeit durch Radikale, und das inverse Galoisproblem sowie Galois-Darstellungen machen sie zu einem zentralen Bestandteil der modernen Zahlentheorie und arithmetischen Geometrie.

History

Galois ordnete in den 1830er Jahren jeder Gleichung eine Gruppe von Permutationen ihrer Wurzeln zu, die ursprüngliche Galoisgruppe. Dedekind und Artin formulierten dies neu in Bezug auf Automorphismen von Körpern, und Artins Formulierung in Bezug auf Fixkörper gab der Theorie ihre moderne, konzeptionelle Gestalt.

Key figures

• Évariste Galois
• Emil Artin
• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

Wann ist eine Körpererweiterung Galois?

Eine endliche Erweiterung ist Galois, wenn sie sowohl normal (sie enthält alle Konjugierten jedes ihrer Elemente) als auch separabel ist (minimale Polynome haben unterschiedliche Wurzeln). Äquivalent dazu ist die Ordnung der Automorphismengruppe, die den Basiskörper fixiert, gleich dem Grad.

Warum wird die Galoisgruppe als Permutation von Wurzeln betrachtet?

Ein Automorphismus, der den Basiskörper fixiert, muss Wurzeln eines Polynoms auf andere Wurzeln abbilden, sodass die Gruppe auf der endlichen Menge der Wurzeln operiert. Dies realisiert die Galoisgruppe innerhalb einer symmetrischen Gruppe, macht sie berechenbar und verbindet sie mit der Theorie der Permutationsgruppen.