Dualität von Tests und Konfidenzbereichen

Jeder Konfidenzbereich entspricht einer Familie von Hypothesentests und umgekehrt: Die Parameterwerte, die ein Test nicht ablehnt, bilden einen Konfidenzbereich auf dem komplementären Niveau.

Definition

Die Dualität von Tests und Konfidenzbereichen ist die Äquivalenz, durch die die Menge der Parameterwerte, die von einer Familie von Alpha-Niveau-Tests nicht abgelehnt werden, ein Konfidenzbereich mit einer Überdeckung von Eins minus Alpha ist, und jeder Konfidenzbereich eine solche Familie von Tests definiert.

Scope

Dieses Thema behandelt die formale Korrespondenz zwischen den Annahmebereichen von Alpha-Niveau-Tests und Konfidenzbereichen des Niveaus Eins minus Alpha, die Konstruktion von Konfidenzbereichen durch Testinversion, die Übertragung der Optimalität, sodass gleichmäßig beste unverzerrte Tests gleichmäßig genaueste unverzerrte Konfidenzbereiche ergeben, die daraus resultierenden einseitigen und zweiseitigen Intervalle und die Verwendung der Inversion, wenn kein geeigneter Pivot existiert.

Core questions

• Wie definiert der Annahmebereich eines Tests, gelesen als Funktion des Parameters, einen Konfidenzbereich?
• Warum entspricht die Überdeckung der invertierten Menge Eins minus der Größe der Tests?
• Wie überträgt sich die Optimalität eines Tests auf die Genauigkeit des entsprechenden Konfidenzbereichs?
• Wann ist die Testinversion der Pivotmethode vorzuziehen?

Key theories

Testinversion

Durch Fixierung der Daten und Sammeln aller Parameterwerte, deren Test die Daten akzeptiert, wird ein Konfidenzbereich erzeugt, dessen Überdeckung Eins minus der gemeinsamen Größe der Tests ist.

Gleichmäßig genaueste Konfidenzbereiche

Die Inversion eines gleichmäßig besten unverzerrten Tests ergibt einen Konfidenzbereich, der die Wahrscheinlichkeit minimiert, falsche Parameterwerte zu überdecken, das Konfidenz-Analogon optimaler Power.

Clinical relevance

Die Testinversion ist der praktische Weg zu Konfidenzintervallen, wenn kein geschlossener Pivot existiert, zum Beispiel Profil-Likelihood-Intervalle für Odds Ratios und Hazard Ratios, die durch das Sammeln der Parameterwerte erhalten werden, die ein Likelihood-Ratio-Test nicht ablehnen würde.

History

Neymans Konfidenztheorie von 1937 zeigte bereits den Zusammenhang zwischen Intervallen und Tests, und Lehmanns Optimalitätstheorie der Tests, später mit Romano überarbeitet, machte die Übertragung der Optimalität auf Konfidenzbereiche explizit und systematisch.

Key figures

• Jerzy Neyman
• Erich L. Lehmann
• Joseph P. Romano
• George Casella

Seminal works

• lehmannRomano2005

Frequently asked questions

Warum ist die Dualität in der Praxis nützlich?

Sie ermöglicht es, ein Konfidenzintervall zu konstruieren, wann immer Hypothesen getestet werden können, selbst ohne Pivot oder geschlossene Form, indem alle Parameterwerte gesammelt werden, die der Test nicht ablehnt; Profil-Likelihood-Intervalle sind ein häufiges Beispiel.

Bedeutet die Dualität, dass Tests und Intervalle immer übereinstimmen?

Ja, konstruktionsbedingt: Ein Wert liegt genau dann außerhalb des Konfidenzintervalls, wenn die entsprechende Nullhypothese auf dem passenden Niveau abgelehnt wird, sodass beide zum gleichen Schluss kommen.