Neyman-Pearson-Lemma

Das Neyman-Pearson-Lemma ist das grundlegende Ergebnis der Testtheorie: Für zwei einfache Hypothesen ist der Test, der das Likelihood-Verhältnis schwellenwertet, der mächtigste bei jeder gegebenen Größe.

Definition

Das Neyman-Pearson-Lemma besagt, dass für das Testen einer einfachen Nullhypothese gegen eine einfache Alternativhypothese bei einer festen Größe der mächtigste Test die Nullhypothese ablehnt, wenn das Verhältnis der Likelihood der Alternative zur Likelihood der Nullhypothese eine Konstante überschreitet, mit Randomisierung an der Grenze.

Scope

Dieses Thema behandelt einfache Null- und einfache Alternativhypothesen, die Likelihood-Verhältnis-Statistik, die Konstruktion des mächtigsten Tests durch Schwellenwertbildung dieses Verhältnisses, die Verwendung von Randomisierung zur Erzielung einer exakten Größe bei diskreten Problemen, die Existenz und Einzigartigkeit des mächtigsten Tests sowie die Rolle des Lemmas als Baustein für gleichmäßig mächtigste und unverzerrte Tests.

Core questions

• Warum ist das Likelihood-Verhältnis die optimale Teststatistik für zwei einfache Hypothesen?
• Wie wird der Ablehnungsschwellenwert gewählt, um eine vorgeschriebene Größe zu erreichen?
• Wann ist Randomisierung erforderlich, um eine exakte Größe zu erreichen, und wie funktioniert sie?
• Wie verallgemeinert sich das Lemma auf zusammengesetzte Hypothesen?

Key theories

Mächtigster Likelihood-Verhältnis-Test

Unter allen Tests einer gegebenen Größe maximiert derjenige, der ablehnt, wenn das Likelihood-Verhältnis eine Konstante überschreitet, die Power; jeder andere Test derselben Größe hat keine größere Power gegen die Alternative.

Randomisierte Tests und exakte Größe

Bei diskreten Problemen kann eine exakte Größe eine randomisierte Entscheidung an der Grenze des Ablehnungsbereichs erfordern, die das Lemma einbezieht, um die Eigenschaft des mächtigsten Tests exakt zu halten.

Clinical relevance

Der Schwellenwert des Likelihood-Verhältnisses ist die optimale Entscheidungsregel in der Signalerkennung, im Radar und bei der diagnostischen Klassifikation, wo er die Receiver Operating Characteristic definiert und den erreichbaren Kompromiss zwischen Erkennungsrate und Fehlalarmrate festlegt.

History

Neyman und Pearson veröffentlichten das Lemma in ihrer Arbeit von 1933, die den Rahmen von zwei Hypothesen, Fehlerwahrscheinlichkeiten und Power einführte und das rein Fishersche Signifikanztesten als Optimalitätsgrundlage des Fachgebiets ablöste.

Key figures

• Jerzy Neyman
• Egon Pearson
• Erich L. Lehmann
• Joseph P. Romano

Seminal works

• neymanPearson1933

Frequently asked questions

Welche Anforderungen stellt das Neyman-Pearson-Lemma an die Hypothesen?

In seiner Grundform müssen sowohl die Null- als auch die Alternativhypothese einfach sein, was bedeutet, dass jede die Verteilung vollständig spezifiziert; Erweiterungen behandeln zusammengesetzte Hypothesen durch monotone Likelihood-Verhältnisse oder Unverzerrtheit.

Warum ist Randomisierung manchmal Teil des optimalen Tests?

In diskreten Umgebungen kann kein fester Ablehnungsbereich genau die gewünschte Größe haben, daher randomisiert der optimale Test seine Entscheidung an der Grenze, um die Zielgröße präzise zu erreichen.