Konfidenzbereiche
Ein Konfidenzbereich ist ein datenabhängiger Bereich, der den unbekannten Parameter mit einer garantierten Langzeit-Häufigkeit enthält und Intervallschätzungen anstelle von Einzelpunkten liefert.
Definition
Ein Konfidenzbereich mit dem Niveau Eins minus Alpha ist eine zufällige Teilmenge des Parameterraums, die aus den Daten berechnet wird und deren Wahrscheinlichkeit, den wahren Parameter zu enthalten, für jeden Wert des Parameters mindestens Eins minus Alpha beträgt.
Scope
Dieser Bereich umfasst die Überdeckungswahrscheinlichkeit und das Konfidenzniveau, die Konstruktion von Konfidenzintervallen aus pivotalen Größen, die Dualität zwischen Konfidenzbereichen und Hypothesentests, die einen Bereich durch Invertieren einer Familie von Tests aufbaut, ein- und zweiseitige Intervalle, die Länge und erwartete Länge von Intervallen, gleichmäßig genaueste und unverzerrte Konfidenzbereiche sowie Konfidenzintervalle für große Stichproben, die auf asymptotischer Normalität basieren.
Sub-topics
Core questions
- Was bedeutet das Konfidenzniveau, und was sagt es nicht über ein einzelnes berechnetes Intervall aus?
- Wie werden Konfidenzintervalle aus pivotalen Größen konstruiert?
- Wie erzeugt das Invertieren einer Familie von Hypothesentests einen Konfidenzbereich?
- Was macht einen Konfidenzbereich besser als einen anderen desselben Niveaus?
Key theories
- Pivotal-Konstruktion
- Ein Pivot ist eine Funktion der Daten und des Parameters, deren Verteilung bekannt und parameterfrei ist; das Invertieren von Wahrscheinlichkeitsaussagen über den Pivot liefert Konfidenzintervalle mit exakter Überdeckung.
- Dualität von Tests und Konfidenzbereichen
- Die Menge der Parameterwerte, die von einem Test auf dem Niveau Alpha nicht abgelehnt werden, ist ein Konfidenzbereich auf dem Niveau Eins minus Alpha, und umgekehrt, sodass die Optimalität von Tests auf die Optimalität von Konfidenzbereichen übergeht.
Clinical relevance
Konfidenzintervalle sind die Standardmethode zur Angabe von Unsicherheiten in klinischen Studien, Umfragen und der Messtechnik. Sie vermitteln nicht nur eine Punktschätzung, sondern einen plausiblen Bereich, und regulatorische sowie Berichtsrichtlinien fordern sie zunehmend zusätzlich zu oder anstelle von p-Werten.
History
Neyman führte 1937 die Theorie der Konfidenzintervalle ein, indem er die Intervallschätzung als eine frequentistische Überdeckungsgarantie formulierte und die Dualität mit Hypothesentests etablierte, die das Thema heute strukturiert.
Debates
- Interpretation eines einzelnen Konfidenzintervalls
- Das Konfidenzniveau ist eine Eigenschaft des Verfahrens über wiederholte Stichproben hinweg, nicht die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes berechnetes Intervall den Parameter enthält; diese Unterscheidung von Bayes'schen Credible-Intervallen ist eine wiederkehrende Quelle von Fehlinterpretationen.
Key figures
- Jerzy Neyman
- Erich L. Lehmann
- George Casella
- Roger L. Berger
Related topics
Seminal works
- casella2002
Frequently asked questions
- Enthält ein 95-Prozent-Konfidenzintervall den Parameter mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95?
- Nicht für ein einzelnes berechnetes Intervall. Die 95 Prozent beziehen sich auf das Verfahren: Bei vielen Wiederholungen würden etwa 95 Prozent der von ihm erzeugten Intervalle den wahren Parameter enthalten.
- Wie unterscheidet sich ein Konfidenzintervall von einem Bayes'schen Credible-Intervall?
- Ein Konfidenzintervall garantiert eine Überdeckungshäufigkeit bei wiederholter Stichprobenziehung, während ein Credible-Intervall eine A-posteriori-Wahrscheinlichkeitsaussage über den Parameter ist, gegeben die Daten und eine A-priori-Verteilung; sie beantworten unterschiedliche Fragen und müssen nicht übereinstimmen.