Zentraler Grenzwertsatz

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe vieler unabhängiger Zufallsvariablen, nach Zentrierung und Reskalierung, eine annähernd normale Verteilung aufweist, unabhängig von der Form der einzelnen Variablen, weshalb die Glockenkurve in der gesamten Wissenschaft auftritt.

Definition

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass für unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit endlichem Mittelwert und endlicher Varianz die standardisierte Summe in der Verteilung gegen das Standardnormalgesetz konvergiert, wenn die Anzahl der Terme wächst.

Scope

Das Thema umfasst den klassischen zentralen Grenzwertsatz für unabhängige, identisch verteilte Variablen mit endlicher Varianz, die Lindeberg- und Lyapunov-Bedingungen für Dreiecksanordnungen unabhängiger Variablen, die charakteristische Funktionenmethode des Beweises, die Berry-Esseen-Schranke für die Konvergenzrate und die Erweiterung auf nicht-Gaußsche stabile Grenzwerte bei unendlicher Varianz.

Core questions

• Warum ist die Normalverteilung der universelle Grenzwert standardisierter Summen?
• Welche Bedingungen, wie die von Lindeberg, sind erforderlich, wenn die Summanden nicht identisch verteilt sind?
• Wie schnell nähert sich die Verteilung einer normalisierten Summe dem Normalgesetz an?
• Was ersetzt den normalen Grenzwert, wenn die Varianz unendlich ist?

Key concepts

• Konvergenz in Verteilung
• Lindeberg-Bedingung
• Lyapunov-Bedingung
• Berry-Esseen-Rate
• stabile Grenzwerte

Key theories

Klassischer zentraler Grenzwertsatz

Für unabhängige, identisch verteilte Variablen mit endlicher Varianz konvergiert die Summe abzüglich ihres Mittelwerts und dividiert durch die Quadratwurzel der Anzahl der Terme mal der Standardabweichung in der Verteilung gegen die Standardnormalverteilung, sauber bewiesen durch charakteristische Funktionen.

Satz von Lindeberg-Feller

Für Dreiecksanordnungen unabhängiger Variablen ist die Lindeberg-Bedingung, dass kein einzelner Term einen vernachlässigbaren Anteil an der Varianz beiträgt, ausreichend und im Wesentlichen notwendig für asymptotische Normalität, was dem Satz seine allgemeinste klassische Form verleiht.

Berry-Esseen-Schranke

Wenn ein endliches drittes Moment existiert, ist der maximale Fehler der Normalapproximation an die Verteilung einer standardisierten Summe durch eine Konstante mal dem dritten absoluten Moment dividiert durch die Varianz hoch drei halbe und die Quadratwurzel der Stichprobengröße begrenzt.

Clinical relevance

Der zentrale Grenzwertsatz ist der Eckpfeiler der statistischen Inferenz: Er rechtfertigt die Normalapproximation, die hinter Konfidenzintervallen, z-Tests und t-Tests sowie der asymptotischen Verteilung von Schätzern steht, und er erklärt, warum Messfehler und aggregierte Größen in den Wissenschaften so oft annähernd Gaußsch sind.

History

De Moivre und Laplace fanden im achtzehnten Jahrhundert die Normalapproximation der Binomialverteilung. Lyapunov lieferte den ersten rigorosen allgemeinen Beweis unter Verwendung von Momenten, Lindeberg stellte die definitive Bedingung bereit, und Feller zeigte, dass sie im Wesentlichen notwendig war, während Berry und Esseen die Konvergenzrate quantifizierten.

Key figures

• Abraham de Moivre
• Pierre-Simon Laplace
• Aleksandr Lyapunov
• Jarl Waldemar Lindeberg

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

Erfordert der zentrale Grenzwertsatz, dass die Summanden normalverteilt sind?

Nein; der bemerkenswerte Punkt ist, dass die einzelnen Variablen nahezu jede Verteilung mit endlicher Varianz haben können, und ihre standardisierte Summe tendiert dennoch zum Normalgesetz, wenn die Anzahl der Terme wächst.

Wie groß muss die Stichprobe sein, damit die Normalapproximation gut ist?

Es gibt keine universelle Antwort; die Berry-Esseen-Schranke zeigt, dass der Fehler vom dritten Moment abhängt und wie eins durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße abnimmt, sodass schiefe oder schwerfällige Summanden größere Stichproben für eine gute Approximation erfordern.