Variationsrechnung

Die Variationsrechnung sucht Funktionen, die integrale Funktionale extremisieren, und verallgemeinert die gewöhnliche Maximierung und Minimierung von Punkten auf Kurven und Felder.

Definition

Die Variationsrechnung untersucht Funktionale, die Funktionen Zahlen zuordnen, und sucht die Funktionen, bei denen ein Funktional stationär ist oder einen Extremwert annimmt, unter Berücksichtigung von Rand- und Nebenbedingungen.

Scope

Dieser Bereich umfasst die Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen als notwendige Bedingungen für ein Extremum, Variationsprobleme mit Nebenbedingungen und freien Rändern, Bedingungen zweiter Variation und Konvexität für Minima, die direkte Methode zur Existenz von Minimierern sowie die Verbindung zur Hamiltonschen Mechanik und optimalen Steuerung.

Sub-topics

• Direkte Methode in der Variationsrechnung
• Euler-Lagrange-Gleichung
• Hamiltonsche Systeme (Variationsrechnung)

Core questions

• Welche Funktionen machen ein gegebenes integrales Funktional stationär?
• Welche notwendigen und hinreichenden Bedingungen identifizieren einen Minimierer?
• Wann existiert tatsächlich ein Minimierer?
• Wie kodieren Variationsprinzipien die Gesetze der Physik?

Key theories

Euler-Lagrange-Gleichungen

Eine Funktion, die ein integrales Funktional extremisiert, muss die Euler-Lagrange-Differentialgleichung erfüllen, das variationelle Analogon zum Nullsetzen einer Ableitung.

Direkte Methode

Die Existenz eines Minimierers wird durch die Betrachtung einer minimierenden Folge und die Anwendung von Kompaktheit und unterer Halbstetigkeit nachgewiesen, wodurch eine explizite Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung umgangen wird.

Variationsprinzipien in der Physik

Das Hamiltonsche Prinzip der stationären Wirkung formuliert Mechanik und Feldtheorie als Variationsprobleme neu und vereinheitlicht deren bestimmende Gleichungen durch die Variationsrechnung.

Clinical relevance

Variationsmethoden drücken grundlegende Gesetze der Physik durch Prinzipien der kleinsten Wirkung und minimalen Energie aus und untermauern die optimale Steuerung, die Geometrie minimaler Flächen und Geodäten, die Bildverarbeitung und die Finite-Elemente-Methode im Ingenieurwesen.

History

Das Thema begann mit dem Brachistochronenproblem, das Johann Bernoulli 1696 stellte. Euler und Lagrange entwickelten im 18. Jahrhundert die allgemeine Theorie und die Euler-Lagrange-Gleichung, Hamilton formulierte die Mechanik variationsmäßig neu, und Hilberts direkte Methode im 20. Jahrhundert sowie sein dreiundzwanzigstes Problem belebten die Existenztheorie wieder.

Key figures

• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton
• David Hilbert

Seminal works

• gelfand1963
• courant1953
• dacorogna2008

Frequently asked questions

Wie unterscheidet sich die Variationsrechnung von der gewöhnlichen Differential- und Integralrechnung?

Die gewöhnliche Differential- und Integralrechnung findet Punkte, an denen eine Funktion am größten oder kleinsten ist, während die Variationsrechnung ganze Funktionen, wie Kurven oder Flächen, findet, die ein Integral extremisieren. Die Unbekannte ist eine Funktion statt einer Zahl, und die Bedingung für ein Extremum ist eine Differentialgleichung.

Was ist das Prinzip der kleinsten Wirkung?

Es ist die physikalische Aussage, dass die Bewegung eines Systems eine Größe, die als Wirkung bezeichnet wird, stationär macht. Die Anwendung der Variationsrechnung auf die Wirkung liefert die Bewegungsgleichungen, sodass ein Großteil der klassischen und Quantenphysik aus einem einzigen Variationsprinzip abgeleitet werden kann.