Gödels Theoreme und ihre Philosophie

Indem Gödel Selbstreferenz in die Arithmetik kodierte, bewies er, dass jedes konsistente formale System, das reich genug für Arithmetik ist, wahre Sätze enthält, die es nicht beweisen kann.

Definition

Gödels erster Unvollständigkeitssatz besagt, dass jedes konsistente, effektiv axiomatisierte formale System, das elementare Arithmetik ausdrücken kann, einen wahren Satz enthält, den es weder beweisen noch widerlegen kann; der zweite besagt, dass kein solches System seine eigene Konsistenz beweisen kann.

Scope

Dieses Thema behandelt Gödels Unvollständigkeitssätze und ihre philosophische Interpretation. Es behandelt die Technik der Arithmetisierung (Gödel-Nummerierung) und das Diagonalisierungslemma, das einen selbstreferenziellen Satz „Ich bin nicht beweisbar“ konstruiert; den ersten Satz (solche Systeme sind unvollständig) und den zweiten (sie können ihre eigene Konsistenz nicht beweisen); und die kontroversen philosophischen Anwendungen der Theoreme – Behauptungen über die Grenzen des Formalismus und Hilberts Programm sowie Lucas-Penrose-Argumente, dass der menschliche Geist jeden Algorithmus übersteigt.

Core questions

• Wie ermöglicht die Gödel-Nummerierung der Arithmetik, über ihre eigenen Beweise zu sprechen?
• Was genau belegen die Unvollständigkeitssätze und für welche Systeme?
• Was bedeuteten die Theoreme für Hilberts Programm und den Logizismus?
• Zeigen die Theoreme, dass der Geist Maschinen übertrifft?

Key concepts

• Gödel-Nummerierung (Arithmetisierung)
• das Diagonalisierungslemma
• der Gödel-Satz
• erster und zweiter Unvollständigkeitssatz
• Hilberts Programm
• Konsistenz und Omega-Konsistenz

Key theories

Unvollständigkeit durch Diagonalisierung

Gödel arithmetisiert die Syntax so, dass eine Formel ihre eigene Unbeweisbarkeit ausdrücken kann; der resultierende Satz ist wahr (wenn das System konsistent ist) und doch unbeweisbar, was die Unvollständigkeit begründet, und der zweite Satz zeigt, dass die Konsistenz selbst innerhalb des Systems unbeweisbar ist.

Das Lucas-Penrose-Argument

Lucas argumentiert aus Gödels Theorem, dass, weil ein Mensch die Wahrheit des Gödel-Satzes jeder konsistenten Maschine, die den Geist modelliert, erkennen kann, der Geist keine solche Maschine sein kann; das Argument ist weithin umstritten.

History

Gödel bewies die Unvollständigkeitssätze im Jahr 1931 und begrenzte damit Hilberts Programm, die Mathematik durch finitistische Mittel als vollständig und konsistent zu beweisen, entscheidend. Die Ergebnisse hallten in der Philosophie der Mathematik und des Geistes wider, wobei Lucas (1961) und später Penrose anti-mechanistische Schlussfolgerungen zogen, die eine umfangreiche kritische Literatur hervorriefen.

Debates

Widerlegen die Theoreme den Mechanismus bezüglich des Geistes?

Ob das Lucas-Penrose-Argument gültig aus der Unvollständigkeit ableitet, dass die menschliche mathematische Einsicht jeden Algorithmus übersteigt, oder ob es über das Ziel hinausschießt, indem es annimmt, dass wir immer unsere eigene Konsistenz kennen und den relevanten Gödel-Satz erkennen können.

Key figures

• Kurt Godel
• David Hilbert
• J. R. Lucas
• Roger Penrose
• Peter Smith

Seminal works

• godel1931
• smith2013

Frequently asked questions

Bedeutet Gödels Theorem, dass die Mathematik fehlerhaft ist?

Nein. Es bedeutet, dass kein einzelnes konsistentes formales System jede arithmetische Wahrheit beweisen kann und keines seine eigene Konsistenz von innen heraus zertifizieren kann. Die Mathematik funktioniert einwandfrei; die Theoreme setzen stattdessen eine prinzipielle Grenze für das, was jedes feste axiomatische System erreichen kann, und widerlegen die Hoffnung auf eine vollständige, selbstzertifizierende Grundlage.