Modale Systeme und ihre Axiome

Verschiedene modale Axiome kodieren unterschiedliche Auffassungen von Notwendigkeit, und jedes korrespondiert mit einer strukturellen Bedingung an die Zugänglichkeitsrelation.

Definition

Ein normales modales System ist eine Menge von Theoremen, die unter den Regeln der klassischen Logik sowie dem Distributionsaxiom K und der Notwendigkeitsregel abgeschlossen ist, wobei stärkere Systeme durch Hinzufügen charakteristischer Axiome erhalten werden, die Eigenschaften der Zugänglichkeitsrelation entsprechen.

Scope

Dieses Thema behandelt die Standardhierarchie normaler modaler Systeme, die auf dem Basissystem K durch Hinzufügen von Axiomen wie T (Reflexivität), 4 (Transitivität), B (Symmetrie) und 5 (Euklidizität) aufgebaut sind, wodurch Systeme wie T, S4 und S5 entstehen. Es behandelt die Korrespondenztheorie – die systematische Übereinstimmung zwischen modalen Axiomen und Rahmenbedingungen – zusammen mit Vollständigkeit, Korrektheit und der Frage, welches System metaphysische, logische oder epistemische Notwendigkeit am besten erfasst.

Core questions

• Welche Axiome sollten eine gegebene Art von Notwendigkeit regeln?
• Wie korrespondieren modale Axiome mit Bedingungen an die Zugänglichkeitsrelation?
• Ist S5 die richtige Logik der metaphysischen Notwendigkeit, oder ist ein schwächeres System angemessener?
• Was belegen Korrektheits- und Vollständigkeitsergebnisse für diese Systeme?

Key concepts

• System K und Notwendigkeit
• Axiome T, 4, B, 5
• reflexive, transitive, symmetrische, euklidische Rahmen
• Korrespondenztheorie
• S4 und S5
• Vollständigkeit durch kanonische Modelle

Key theories

Korrespondenztheorie

Jedes charakteristische modale Axiom korrespondiert mit einer Eigenschaft der Zugänglichkeitsrelation – T mit Reflexivität, 4 mit Transitivität, B mit Symmetrie, 5 mit Euklidizität – so dass ein System bezüglich der Klasse von Rahmen, die diese Bedingungen erfüllen, korrekt und vollständig ist.

Strikte Implikation und die Lewis-Systeme

C. I. Lewis führte die Systeme S1-S5 ein, um die strikte Implikation zu formalisieren und die Paradoxien der materialen Implikation zu vermeiden, wodurch er die moderne axiomatische Untersuchung der Modalität begründete.

History

Lewis und Langfords „Symbolic Logic“ von 1932 führte die Systeme S1-S5 axiomatisch ein. Nach Kripkes relationaler Semantik enthüllte die Korrespondenztheorie die systematische Verbindung zwischen Axiomen und Rahmenbedingungen, und die Vollständigkeit wurde durch kanonische Modellkonstruktionen etabliert, die in Lehrbüchern wie Hughes und Cresswell kodifiziert wurden.

Debates

Welches System erfasst die metaphysische Notwendigkeit?

Ob die Logik der metaphysischen Notwendigkeit das starke S5 ist, bei dem das Mögliche nicht-kontingent möglich ist, oder ein schwächeres System, das es dem Raum der Möglichkeiten selbst erlaubt, über Welten hinweg zu variieren.

Key figures

• C. I. Lewis
• Saul Kripke
• G. E. Hughes
• M. J. Cresswell
• Johan van Benthem

Seminal works

• lewislangford1932
• hughescresswell1996

Frequently asked questions

Was ist der Unterschied zwischen S4 und S5?

S4 fügt das Axiom hinzu, dass das Notwendige notwendigerweise notwendig ist (transitive Zugänglichkeit). S5 fügt ferner hinzu, dass das Mögliche notwendigerweise möglich ist (die Zugänglichkeitsrelation wird zu einer Äquivalenzrelation). In S5 ist der modale Status eines jeden Satzes selbst nicht-kontingent, was viele als passend für die metaphysische Notwendigkeit ansehen.